باقی مانده ی هر مربع کامل به 5 اعداد 0,1,4 می تواند باشد. حالا با یک بررسی ساده نتیجه می گیریم که اعداد 2n+1 و 3n+1 زمانی مربع کامل میشند که n بر 5 بخش پذیر باشد. (چون باقی مانده ی مجموع اون ها به 5 برابر 2 هستش).
از طرفی 2n+1 عددی فرد است. پس اگر مربع کامل شود، باید به فرم 8k+1 باشد. پس n زوج است و نتیجتا 3n+1 عددی فرد می شود. پس 3n+1 نیز باید به فرم 8k+1 باشد. یعنی n مضرب 8 است.
از طرفی 2n+1 عددی فرد است. پس اگر مربع کامل شود، باید به فرم 8k+1 باشد. پس n زوج است و نتیجتا 3n+1 عددی فرد می شود. پس 3n+1 نیز باید به فرم 8k+1 باشد. یعنی n مضرب 8 است.