مسئله سقوط دمبل مایل

[smjty]

به نام خدا

با سلام .

روی این مسئله فکر کنید ، به نظرم خیلی جالب شده . دیروز وقتی داشتم با یه خودکار بازی می کردم به ذهنم رسید . فقط مسئله هنوز کامل نیست ، دو بخش داره ، یکی بخش سینماتیکی و دیگری بخش دینامیکی ، بخش سینماتیکیش رو در ادامه می بینید ، با همدیگه برسیش کنیم تا بعد بریم سراغ بخش دینامیکی . به مرور هم اگه کسی جواب نده پاسخش رو می زارم .

مسئله سقوط دمبل مایل : بخش اول

مطابق شکل دمبلی از یک میله صلب و بدون جرم به طول 2l ساخته شده ، در وسط آن جرم M و در دو سر آن جرم m قرار دارد که M خیلی بزرگتر از m است . به زاویه دمبل با افق تتا می گوییم . دمبل با سرعت اولیه عمودی v[SUB]0[/SUB] و سرعت زاویه اولیه صفر به سمت زمین رها می شود و در زمان صفر برای بار اول با زمین تماس پیدا می کند .

تا اطلاع ثانوی در مسئله گرانش وجود ندارد ، تتا صفر ، زاویه دمبل قبل از اولین برخورد با زمین بسیار کوچک است به طوری که متوانید از تقریب Sinx=x و cosx=1 استفاده کنید . از اثرات ناشی از حرکت m ها بر M چشم بپوشید ، یعنی فرض کنید با اینکه دو جرمm به دفعات با زمین برخورد می کند اما M از آنها تاثیر نپذیرفته و با همان سرعت v[SUB]0 [/SUB]به سمت پایین می آید .
هم چنین در برخود دو جرم m با زمین انرژی آنها تلف نمی شود و با همان سرعتی که به زمین خورده اند باز می گردند .

الف ) بعد از اولین برخورد m سمت چپ با زمین ، دمبل شروع به گردش حول M با سرعت زاویه ای ω[SUB]1[/SUB]می کند . سپس m سمت راست به زمین خورده و مجموعه با امگا 2 می چرخد ، همینطور به سرعت زاویه ای مجموعه بعد برخورد n ام با زمین با فرض اینکه در برخورد n ام هنوز M به زمین نرسیده است ، ω[SUB]n[/SUB] می گوییم . امگا n را برحسب n , v[SUB]0[/SUB] , l بیابید ( فقط اندازه آن مهم است و جهت چرخش اهمیتی ندارد )

ب ) به اندازه زاویه دمبل با افق در لحظه برخورد n ام ، θ[SUB]n [/SUB]می گوییم . توجه داشته باشید θ[SUB]1[/SUB]=θ[SUB]0[/SUB] .[SUB] [/SUB]هم چنین [SUB][/SUB]به اختلاف زمان بین برخورد n و n+1 ام t[SUB]n+1 [/SUB]می گوییم . دو معادله مستقل از هم بین کمیت هایθ[SUB]n و [/SUB]θ[SUB]n+1[/SUB][SUB] و [/SUB]t[SUB]n+1 و [/SUB]ω[SUB]n[/SUB][SUB] [/SUB][SUB] [/SUB]بدست آورید و بوسیله آنها ، در حالت خاص n=1 ، کمیت θ[SUB]1[/SUB] را بر حسبθ[SUB]2 [/SUB]محاسبه کنید .هم چنین اختلاف زمانی بین برخورد اول و دوم را نیز محاسبه کنید ( t[SUB]2[/SUB] )

ج ) در معادلات بخش قبل ، امگا ان را جاگذاری کنید ، t[SUB]n+1 [/SUB]را حذف کنید و از این طریق رابطه بازگشتی بین θ[SUB]n و [/SUB]θ[SUB]n+1[/SUB] بدست آورید . این رابطه بازگشتی را با تحلیل یا گذاشتن حالت خاص حل کنید وθ[SUB]n[/SUB]را بر حسب θ[SUB]1[/SUB] و n بدست آورید .

د)t[SUB]n+1 [/SUB]را با جا گذاری برحسب n , v[SUB]0[/SUB] , l و θ[SUB]1[/SUB] بدست آورید . با جمع همه t[SUB]i [/SUB]که i<=n ، کمیت Tn را که زمان وقوع برخورد ان ام است را بدست آورید . از طرفی با توجه به اینکه جرم M با سرعت ثابت به سمت زمین حرکت می کند ، زمان برخورد آنرا با زمین بدست بیاورید و بگویید در چه n ای جرم M به زمین می رسد ؟

این مسئله ، ادامه دارد ....​

 

[sina]

پاسخ : مسئله سقوط دمبل مایل

به نام خدا

با سلام .

روی این مسئله فکر کنید ، به نظرم خیلی جالب شده . دیروز وقتی داشتم با یه خودکار بازی می کردم به ذهنم رسید . فقط مسئله هنوز کامل نیست ، دو بخش داره ، یکی بخش سینماتیکی و دیگری بخش دینامیکی ، بخش سینماتیکیش رو در ادامه می بینید ، با همدیگه برسیش کنیم تا بعد بریم سراغ بخش دینامیکی . به مرور هم اگه کسی جواب نده پاسخش رو می زارم .

مسئله سقوط دمبل مایل : بخش اول

مطابق شکل دمبلی از یک میله صلب و بدون جرم به طول 2l ساخته شده ، در وسط آن جرم M و در دو سر آن جرم m قرار دارد که M خیلی بزرگتر از m است . به زاویه دمبل با افق تتا می گوییم . دمبل با سرعت اولیه عمودی v[SUB]0[/SUB] و سرعت زاویه اولیه صفر به سمت زمین رها می شود و در زمان صفر برای بار اول با زمین تماس پیدا می کند .

تا اطلاع ثانوی در مسئله گرانش وجود ندارد ، تتا صفر ، زاویه دمبل قبل از اولین برخورد با زمین بسیار کوچک است به طوری که متوانید از تقریب Sinx=x و cosx=1 استفاده کنید . از اثرات ناشی از حرکت m ها بر M چشم بپوشید ، یعنی فرض کنید با اینکه دو جرمm به دفعات با زمین برخورد می کند اما M از آنها تاثیر نپذیرفته و با همان سرعت v[SUB]0 [/SUB]به سمت پایین می آید .
هم چنین در برخود دو جرم m با زمین انرژی آنها تلف نمی شود و با همان سرعتی که به زمین خورده اند باز می گردند .

الف ) بعد از اولین برخورد m سمت چپ با زمین ، دمبل شروع به گردش حول M با سرعت زاویه ای ω[SUB]1[/SUB]می کند . سپس m سمت راست به زمین خورده و مجموعه با امگا 2 می چرخد ، همینطور به سرعت زاویه ای مجموعه بعد برخورد n ام با زمین با فرض اینکه در برخورد n ام هنوز M به زمین نرسیده است ، ω[SUB]n[/SUB]می گوییم . امگا n را برحسب n , v[SUB]0[/SUB] , l بیابید ( فقط اندازه آن مهم است و جهت چرخش اهمیتی ندارد )

ب ) به اندازه زاویه دمبل با افق در لحظه برخورد n ام ، θ[SUB]n [/SUB]می گوییم . توجه داشته باشید θ[SUB]1[/SUB]=θ[SUB]0[/SUB] .هم چنین به اختلاف زمان بین برخورد n و n+1 ام t[SUB]n+1 [/SUB]می گوییم . دو معادله مستقل از هم بین کمیت هایθ[SUB]n و [/SUB]θ[SUB]n+1[/SUB][SUB] و [/SUB]t[SUB]n+1 و [/SUB]ω[SUB]n[/SUB]بدست آورید و بوسیله آنها ، در حالت خاص n=1 ، کمیت θ[SUB]1[/SUB] را بر حسبθ[SUB]2 [/SUB]محاسبه کنید .هم چنین اختلاف زمانی بین برخورد اول و دوم را نیز محاسبه کنید ( t[SUB]2[/SUB] )

ج ) در معادلات بخش قبل ، امگا ان را جاگذاری کنید ، t[SUB]n+1 [/SUB]را حذف کنید و از این طریق رابطه بازگشتی بین θ[SUB]n و [/SUB]θ[SUB]n+1[/SUB] بدست آورید . این رابطه بازگشتی را با تحلیل یا گذاشتن حالت خاص حل کنید وθ[SUB]n[/SUB]را بر حسب θ[SUB]1[/SUB] و n بدست آورید .

د)t[SUB]n+1 [/SUB]را با جا گذاری برحسب n , v[SUB]0[/SUB] , l و θ[SUB]1[/SUB]بدست آورید . با جمع همه t[SUB]i [/SUB]که i<=n ، کمیت Tn را که زمان وقوع برخورد ان ام است را بدست آورید . از طرفی با توجه به اینکه جرم M با سرعت ثابت به سمت زمین حرکت می کند ، زمان برخورد آنرا با زمین بدست بیاورید و بگویید در چه n ای جرم M به زمین می رسد ؟

این مسئله ، ادامه دارد ....​

الف) n+1)v0/l)

 

[smjty]

پاسخ : مسئله سقوط دمبل مایل

من خودم در آوردم : 2nv0/l
جرم سمت چپ که بار اول می خوره زمین و بر می گرده بالا سرعتش v0 ، که توی دستگاه متصل به ام بزرگ میشه 2v0 ، توی این دستگاه جرم سمت راست با همین 2v0 میاد پایین که در دستگاه مرجع معادل 3v0 بعد میخوره زمین و با همین 3v0 میاد بالا که باز در دید ناظر ام بزرگ میشه 4v0 ، به همین ترتیب در هر برخورد 2v0 سرعت زیاد میشه که معادل 2v0/l سرعت زاویه ایه .

 

[sina]

پاسخ : مسئله سقوط دمبل مایل

من خودم در آوردم : 2nv0/l
جرم سمت چپ که بار اول می خوره زمین و بر می گرده بالا سرعتش v0 ، که توی دستگاه متصل به ام بزرگ میشه 2v0 ، توی این دستگاه جرم سمت راست با همین 2v0 میاد پایین که در دستگاه مرجع معادل 3v0 بعد میخوره زمین و با همین 3v0 میاد بالا که باز در دید ناظر ام بزرگ میشه 4v0 ، به همین ترتیب در هر برخورد 2v0 سرعت زیاد میشه که معادل 2v0/l سرعت زاویه ایه .

حق با شماست من بی دقتی کردم اما سوال یه جاهییش غلطه مثلا سرعت جرم M بعد از بی نهایت بار برخورد کم میشه دیگه نمیشه ازش صرفه نظر کرد اما اگه صرفه نظر کنیم جواب میشه teta0v0/l که برای محاسبه اش اصلا نیازی به این همه قسمت نیست از همون اولم میشد با فرضه این که سرعتش ثابته این رو به دست آورد n هم به بی نهایت میل می کنه
اما سواله جالبی بود خداهیش

 

[smjty]

پاسخ : مسئله سقوط دمبل مایل

حق با شماست.
تا اینجای مسئله مرتبه صفره.
این چیزای اضافی مثلا زمان بین دو برخورد رو ، می خوام بعدا تو تحلیل مکانیکیش استفاده کنم ، با محاسبه زمان دو برخورد می تونیم نیروی متوسط وارد شده به سیستم از طرف زمین رو حساب کنیم .بعد می تونیم برای m معادله حرکت بنویسیم و همون چیزی که شما می گید ( نیرویی که بهش وارد میشه وقتی زمان به مقدار نهاییش نزدیک میشه به بی نهایت میل می کنه ) . فقط الان تو این موضوع موندم که چجوری بقیه مسئله رو مدل سازی کنم ... ایده ای اگه دارید حتما مطرح کنید .

:216:​

 

[sina]

پاسخ : مسئله سقوط دمبل مایل

حق با شماست.
تا اینجای مسئله مرتبه صفره.
این چیزای اضافی مثلا زمان بین دو برخورد رو ، می خوام بعدا تو تحلیل مکانیکیش استفاده کنم ، با محاسبه زمان دو برخورد می تونیم نیروی متوسط وارد شده به سیستم از طرف زمین رو حساب کنیم .بعد می تونیم برای m معادله حرکت بنویسیم و همون چیزی که شما می گید ( نیرویی که بهش وارد میشه وقتی زمان به مقدار نهاییش نزدیک میشه به بی نهایت میل می کنه ) . فقط الان تو این موضوع موندم که چجوری بقیه مسئله رو مدل سازی کنم ... ایده ای اگه دارید حتما مطرح کنید .

:216:​

خوب بگید با استفاده از زمان بین دو برخورد نیروی متوسطی که از طرف زمین برای هر برخورد وارد میشه رو محاسبه کنید

 

[smjty]

پاسخ : مسئله سقوط دمبل مایل

آخه زمان بین دو برخورد رو بر حسب شماره برخورد محاسبه کردیم . بعد اگه اینطوری نیروی متوسط رو حساب کنیم نیروی متوسط هم بر حسب شماره برخورد بدست میاد ، می تونیم شماره برخورد رو هم به زمان تبدیلش کنیم ولی بعد که جاگذاری کنیم خیلی عبارت پیچیده ای در میاد .

 

[sina]

پاسخ : مسئله سقوط دمبل مایل

آخه زمان بین دو برخورد رو بر حسب شماره برخورد محاسبه کردیم . بعد اگه اینطوری نیروی متوسط رو حساب کنیم نیروی متوسط هم بر حسب شماره برخورد بدست میاد ، می تونیم شماره برخورد رو هم به زمان تبدیلش کنیم ولی بعد که جاگذاری کنیم خیلی عبارت پیچیده ای در میاد .

خوب در بیاد مگه تو دوره جوابا پیچیده در نمیان؟!!!
تازه نیازی به این کار نیست وقتی زمان برخورد رو برحسب تعداد به دست بیاریم نیرو هم بر حسب تعداد به دست بیاریم سوال حله دیگه مجبور به جایگذاری نیستیم که

 

[H O S E I N]

پاسخ : مسئله سقوط دمبل مایل

دمبل معمولا" سر و تهش سنگین تره .

ولی سوال خوبیه.

حرکت افقی هم میتونه بررسی بشه البته تاثیرش نهایتا" از مرتبه دوم تتا هست اگه تتا کوچک فرض بشه.

 

[sina]

پاسخ : مسئله سقوط دمبل مایل

دمبل معمولا" سر و تهش سنگین تره .

ولی سوال خوبیه.

حرکت افقی هم میتونه بررسی بشه البته تاثیرش نهایتا" از مرتبه دوم تتا هست اگه تتا کوچک فرض بشه.

منظورت چیه از حرکته افقی؟! نیروی افقی به دمبل وارد نمیشه که
امضاتم قشنگه:ی

 

[seyed iman]

پاسخ : مسئله سقوط دمبل مایل

http://www.irysc.com/forum/t15769/#post193884
سلام.میشه بررسی کرد که فرض سوال معقوله و تغییرات اون V0 از مرتبه m/M شروع میشه.بعد میشه رابطه بازگشتی برای سرعت زاویه ای و تتا نوشت.امگای smjty هم صحیح هست به نظر من(جواب منم اون شد).اما حل رابطه بازگشتی برای تتا به همین سادگی نیست.
هنوز کامل بررسی نکردم ولی سوال فوق العاده قشنگ و خوبیه!ممنون.از سوالای دوره که خیلی بهتره.
راستی اگر دقت کرده باشین به افتادن سکه روی زمین (سکه ای که داشته میچرخیده) قبل از ساکن شدن یدفه امگاش زیاد میشه و دامنه اش کم میشه تا به ایسته.مثل جوابی که ما اینجا در آوردیم و امگا داره زیاد میشه.و البته این ایستادن هم رو هم میشه با بررسی رابطه تتا درک کرد.چون تتا هم بسرعت کوچیک میشه و از یک جایی دامنه انقدر کم میشه که سکه واقعن ایستاده (پس امگا تا بینهایت زیاد نمیشه).
من بدست آوردم که Theta(n)=theta0/(2n+1) 1
که اگه این باشه میشه Tn رو هم نوشت و ثابت کرد که جمع Tn ها از 1 تا بی نهایت متناهی هست(تو زمان متنهاهی می ایسته مثلن) و حتی میشه زمان کل رو در آورد(Ltheta0/V0) که البته با توجه به اینکه V0 ثابته این جواب بدون حساب کردن اون زیگما یی که بدست میاد هم بدیهیه.و اینکه اون زیگما هم همین میشه برای چک کردن خوبه.
http://www.xum.ir/images/2014/01/12/r1.jpg
اینم یکم از محاسبات من که خیلی نامرتبه.اون آخر اومدم طبق رابطه دقیق که بررسی کنیم اون V0 چقدر عوض میشه (که اول گرفتیم اصلن عوض نمیشه) رابطه بازگشتی برای V0 نوشتم تا مرتبه اول نسبت جرم ها.و بعد حلش کردم.حالا چرا؟چون برای نیرو متوسط باید تغییر تکانه رو داشته باشیم.که فقط بعلت تغییر این V اه هستش.حالا این بخش بر زمان میشه نیرو متوسط.اما!برای اینکه جواب بر حسب زمان بشه..اولن که باید تعداد برخوردهای زیادی رو در نظر بگیریم تا نیرو متوسط معنی داشته باشه.پس جمله غالب مهمه و جواب ساده میشه.یک F بر حسب زمان خوب بدست میادش.(من تو محاسباتم زیگما ها رو کم و زیاد شمردم مشکل داره.ولی شکل کلیش همینه)

 

[saraza]

پاسخ : مسئله سقوط دمبل مایل

کتاب مکانیک تحلیلی معرفی کنید