معادله تابعی r به r

mmahdit · 1393/9/2

همه توابع

$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

را بیابید که برای هر

$x,y$

حقیقی در شرط زیر صدق کنند :

$x^2y^2(f(x+y)-f(x)-f(y))=3(x+y)f(x)f(y)$

Dadgarnia · 1393/9/3

پاسخ : معادله تابعی r به r

mmahdit گفت

فرض كنيد رابطه ي بالا

$P(x,y)$

باشه. واضحه كه

$f(x)\equiv 0$

يه جواب براي اين سواله حالا اگه

$f$

متحد با صفر نباشه داريم:

$P(x,0)\rightarrow f(0)=0$

$P(x,-x)\rightarrow f(-x)=-f(x)$

$P(x,x)\rightarrow f(2x)=\frac{6f(x)^2+2x^3f(x)}{x^3}$

$P(2x,-x)\rightarrow 8x^3f(x)-4x^3f(2x)=-3f(x)f(2x)\Rightarrow f(x)^2(f(x)-x^3)=0$

پس

$f(x)=0$

يا

$f(x)=x^3$

به راحتي مي تونيم بررسي كنيم كه اين دو تا رابطه نمي تونن همزمان برقرار باشند پس دو جواب

$\boxed{f(x)=0}$

و

$\boxed{f(x)=x^3}$

براي اين سوال وجود داره.