معادله تابعی!

Sharifi_M · 1394/5/18

تمام توابع

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

را بیابید به طوری که:

$f(x^3)+f(y^3)=(x+y)(f(x^2)+f(y^2)-f(xy))$

برای هر

$x,y\in \mathbb{R}$

.

Dadgarnia · 1394/5/18

پاسخ : معادله تابعی!

Sharifi_M گفت

فرض مي كنيم

$f(1)=c$

. داريم:

$P(x,-x)\rightarrow f(-x^3)=-f(x^3)$

$P(x,x)\rightarrow f(x^3)=xf(x^2)$

$\Rightarrow P(x,y)\rightarrow (x+y)f(xy)=yf(x^2)+xf(y^2)$

فرض مي كنيم عبارت بالا

$Q(x,y)$

باشه. داريم:

$Q(x,1),Q(x,-1)\rightarrow f(x)=cx$

AHZolfaghari · 1394/5/18

پاسخ : معادله تابعی!

Sharifi_M گفت

$x,y\rightarrow 0 \Rightarrow f(0)=0$

اگر که تابع

$f$

در مسئله صدق کنه تابع

$cf$

که در اون

$c$

یک عدد حقیقی هست هم صدق می کنه .

پس فرض می کنیم

$f(1)=1$

$y\rightarrow -x \Rightarrow f(x)=-f(-x)$

$f(-1)=-1$

$y\rightarrow 1 \Rightarrow f(x^3)+1=(x+1)(f(x^2)+1-f(x))$

دو عبارت بدست اومده اخیر رو از هم تفریق می کنیم :

$-2 = -2xf(x)+2f(x^2)-2\Rightarrow f(x^2)=xf(x)$

$y\rightarrow 0\Rightarrow f(x^3)=xf(x^2)$

پس

$y\rightarrow 1 \Rightarrow f(x^3)+1=xf(x^2)+x-xf(x)+f(x^2)+1-f(x)$

$f(x)=x$

حالا طبق فرضی که کرده بودیم می فهمیم که مجموعه توابعی که در مسئله صدق می کنند

$f(x)=ax$

هستش

معادله تابعی!

Sharifi_M

New Member

Dadgarnia

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member