مکان هندسی قشنگ

[seifi_seifi]

مکان هندسی نقاطی مانند P را بیابید که بیابید که اگر 'A و 'B و 'C پای عمود وارد از P بر BC و AC و BA باشد آنگاه داشته باشیم r(PA'B)+r(PB'C)+r(PC'A)=r(PA'C)+r(PB'A)+r(PC'B) :1

r(ABC)1 یعنی شعاع دایره محاطی ABC

 

[hr_maleki]

زیبا بود.
OI جواب مسأله هست. اگه هم O و I بر هم منطبق شن کل فضای درون مثلث متساوی الاضلاع می شه.
من راه حل زیاد قشنگی براش نتونستم پیدا کنم. اگه کسی راه حل زیبا براش داره بگه.

 

[seifi_seifi]

حکم با این هم ارزه :AC'+BA'+CB'=AB'+BC'+CA' i ابتدا ثابت میکنیم که O و I در رابطه صدق میکنند و سپس ثابت میکنیم اگر دو نقطه در مکان هندسی باشند آنگاه وسط این دو نقطه و قرینه ی این نقاط نسبت به هم نیز در مکان هندسی قرار دارد.

پس ثابت میشود OI مکان هندسی هست و اگر نقطه ای خارج OI جزو مکان هندسی باشد آنگاه کل صفحه مکان هندسی میشود که تناقض است.

 

[hr_maleki]

راه حل من هم تقریباً شبیه اینه، با این تفاوت که تناقض اثبات من در چیز دیگری است. اما به نظر می رسه راه حل زیبایی داشته باشه. مثلاٌ به نوعی از بردار استفاده شه.
اگه راه حل دیگه ای براش دارید که مستقیم جواب بده، بگید.