نابرابری با شرط ab+bc+ca=1

[M_Sharifi]

یه نابرابری:
فرض کنید

اعدادی مثبت اند که

. ثابت کنید:

[center:77f077da28]

[/center:77f077da28]

 

[shervin]

18≤2(a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP]+c[SUP]2[/SUP])(a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP])​

18≤(2a[SUP]2[/SUP]+2b[SUP]2[/SUP]+2c[SUP]2[/SUP])(a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP])​

18≤ (2bc+2ac+2ab)(a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP])​

9≤(a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP])​

​

20≤2+2(a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP])​

20≤2(ab+bc+ca)+(a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP])​

​

​

20≤2(a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP]+c[SUP]2[/SUP])2+(a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP])​

​

10≤(a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP]+c[SUP]2[/SUP])+(a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP])​

​

6≤2(a/b+b/c+c/a)​

این هم که حکم مسئله است 16≤2a/b+2b/c+2c/a+a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP]+c[SUP]2[/SUP]+a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP]​

 

[M_Sharifi]

رابطه ی 18≤ (2bc+2ac+2ab)(a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP])
رو چه جوری نتیجه گرفتی؟

 

[shervin]

[JUSTIFY]جواب سوال که در بالا امده است در خط از بالا , پشت پرانتز اول 2 جا افتاده است یعنی:[/JUSTIFY]

20≤2(ab+bc+ca)2+(a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP])​

که از ان نتیجه می شود :​

10≤a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP]+c[SUP]2[/SUP]+a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP]​

 

[shervin]

راه حل اول اشتباه بود اما یک راه حل دیگه:
2ab+2ca+2ca≤2a[SUP]2[/SUP]+2b[SUP]2[/SUP]+2c[SUP]2[/SUP][SUP]
[/SUP]
a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP]+c[SUP]2[/SUP]≥1[SUP]
[/SUP]
3≤ab/c2+ca/b2+bc/a2
a/b+b/a+b/c+c/b+c/a+a/c≥6
که از خطهای 3و4 نتیجه می شود :
9≤b[SUP]-[/SUP][SUP]2[/SUP]+c[SUP]-[/SUP][SUP]2[/SUP]+a[SUP]-2[/SUP]
2a/b+2b/c+2c/a≥6
a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP]+c[SUP]2[/SUP]+a[SUP]-2[/SUP]+b[SUP]-2[/SUP]+c[SUP]-2[/SUP]+2a/b+2b/c+2c/a≥16
این هم که حکم مسئله است

 

[M_Sharifi]

مرسی، درست بود.

 

[Meysam]

kafie az AM-GM estefade konim ...badesh dige tablo'e