نابرابری دو متغیره

M_Sharifi · 1388/12/19

یه سوال:
فرض کنید

$a,b$

اعدادی مثبت اند. ثابت کنید
[center:0a14cb55d7]

$\frac ab+\frac ba+\sqrt{1+\frac{2ab}{a^2+b^2}}\geq2+\sqrt2$

[/center:0a14cb55d7]

mimilad · 1389/12/2

با سلام اقاي شريفي و همه ي بچه ها ميشه اين نامساوي رو كه اقاي شريفي نوشته يكي ( اگه خودشون جواب بدن كه چه بهتر ) جواب بده ؟

mimilad · 1389/12/2

لطفا هر كي ميتونه اين رو اثبات كنه فك كنماثبات قشنگي داشته باشه /

MR.Amin · 1389/12/2

با یه تغییر متغیر خوب میشه حلش کرد!!!

mahanmath · 1389/12/2

M_Sharifi گفت

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{ab} \geq \sqrt{2} - \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{ab} (\sqrt{2} + \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} )\geq \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b ) \geq ab$

$\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b ) \geq (\sqrt{2ab})(\sqrt{4ab} + 2\sqrt{ab})$

mimilad · 1389/12/2

ممنون

M_Sharifi · 1389/12/2

M_Sharifi گفت

طبق نابرابری میانگین حسابی-هندسی،

[center:509bc7a67a]

$\frac ab+\frac ba+\sqrt{1+\frac{2ab}{a^2+b^2}}=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ ~~~~~~~~~~~~~=\left(1-\frac1{2\sqrt2} \right )\frac{a^2+b^2}{ab}+\left(\frac{a^2+b^2}{2\sqrt2ab}+\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\\ ~~~~~~~~~~~~~\geq2\left(1-\frac1{2\sqrt2} \right )+\frac3{\sqrt2}=2+\sqrt2$

[/center:509bc7a67a]

نابرابری دو متغیره

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mimilad

New Member

mimilad

New Member

MR.Amin

New Member

mahanmath

New Member

mimilad

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی