نامساوی اموزنده

math · 1392/6/2

فرض کنید

$a,b,c \in \mathbb{R}^{+}$

و داریم

$abc =1$

ثابت کنید :

$1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+ac+bc}$

hosseinmoghaddas · 1392/6/2

پاسخ : نامساوی اموزنده

یه سوال:
اگر 1 رو هم مخرج کنیم بعد 3 رو بنویسیم 3ضربدر رادیکال abc با فرجه 3 بعد یه تغییر متغیر کوچولو بدیم به هیچ نتیجه ای میرسه؟
چون خودم الان خیلی بلد نیستم، گفتم شاید نامساوی پیشرفته ای براش لازم باشه و من بلد نیستم و شاید ایده ی اصلی سوال این باشه.

پ.ن.: برای سلامتی و ظهور هرچه سریعتر امام زمان دعا کنید و یک صلوات بفرستید.

Ali.N · 1392/6/3

پاسخ : نامساوی اموزنده

این درسته؟
نامساوی را به این شکل مینویسیم:

$ab+ac+bc+\frac{3(ab+ac+bc)}{a+b+c}\geq 6$

با توجه به نامساوی حسابی هندسی داریم:

$(ab+ac+bc)+(\frac{3(ab+ac+bc)}{a+b+c})\geq 2\sqrt{\frac{3(ab+ac+bc)^{2}}{a+b+c}}$

بنابراین باید ثابت کنیم:

$2\sqrt{\frac{3(ab+ac+bc)^{2}}{a+b+c}}\geq 6\Leftrightarrow \frac{(ab+ac+bc)^{2}}{a+b+c}\geq 3\Leftrightarrow (ab+ac+bc)^{2}\geq 3(a+b+c)\Leftrightarrow (ab)^{2}+(ac)^{2}+(bc)^{2}\geq a+b+c$

نامساوی اخیر نیز با استفاده از نامساوی حسابی مربعی قابل اثبات است:

$\sqrt{\frac{(ab)^{2}+(ac)^{2}+(bc)^{2}}{3}}\geq \frac{a+b+c}{3}\Rightarrow (ab)^{2}+(ac)^{2}+(bc)^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\geq a+b+c$

نامساوی اموزنده

math

New Member

hosseinmoghaddas

New Member

Ali.N

New Member