نامساوی مرحله ی 3 سوال 14

shoki · 1388/12/25

فرض کنید که

و

ثابت کنید :
[center:0752eccd5c]

[/center:0752eccd5c]
[center:0752eccd5c] [/center:0752eccd5c]

M_Sharifi · 1388/12/29

من این راه حل به ذهنم رسید:
فرض می کنیم

$x=\sqrt{ab},~y=\sqrt{bc},~z=\sqrt{ca}$

. در این صورت فرض مسئله به

$x^2+y^2+z^2=3$

تبدیل می شود و حکم مسئله هم به صورت

[center:3433c1c364]

$\sum_{\mathbf{cyc}} \frac{y(x^4+z^4)}{xz(x^2+z^2)}\geq3$

در می آید. برای اثبات این نابرابری، طبق نابرابری کوشی-شوارتز داریم

$\sum_{\mathbf{cyc}} \frac{y(x^4+z^4)}{xz(x^2+z^2)}\cdot\sum_{\mathbf{cyc}}xyz(x^2+z^2)\geq\sum_{\mathbf{cyc}}\left(y\sqrt{x^4+z^4} \right )^2$

از طرفی

$\sum_{\mathbf{cyc}}xyz(x^2+z^2)=2xyz(x^2+y^2+z^2)=6xyz$

و نیز طبق نابرابری کوشی-شوارتز،

$\sum_{\mathbf{cyc}}\left(y\sqrt{x^4+z^4} \right )^2=\sum_{\mathbf{cyc}}y^2(x^4+z^4)+2\sum_{\mathbf{cyc}}yz\sqrt{x^4+z^4}\cdot\sqrt{x^4+y^4}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq \sum_{\mathbf{cyc}}y^2(x^4+z^4)+2\sum_{\mathbf{cyc}}yz(x^4+y^2z^2) \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{\mathbf{cyc}}x^4(y^2+z^2)+2\sum_{\mathbf{cyc}} x^4yz+2\sum_{\mathbf{cyc}} x^3y^3$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$\sum_{\mathbf{cyc}}x^4(y^2+z^2)+2\sum_{\mathbf{cyc}} x^4yz+2\sum_{\mathbf{cyc}} x^3y^3\geq18xyz$

برای این منظور داریم

$\sum_{\mathbf{cyc}}x^4(y^2+z^2)\geq2\sum_{\mathbf{cyc}} x^4yz=2xyz(x^3+y^3+z^3)$

و نیز

[/center:3433c1c364]

[center:3433c1c364]

$2\sum_{\mathbf{cyc}}x^3y^3\geq \sum_{\mathbf{cyc}} x^3y^2z=xyz\sum_{\mathbf{cyc}} x(y^2+z^2)$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$4\sum_{\mathbf{cyc}}x^3+\sum_{\mathbf{cyc}} x(y^2+z^2)\geq18$

. برای اثبات این نابرابری توجه کنید که

$4\sum_{\mathbf{cyc}}x^3+\sum_{\mathbf{cyc}} x(y^2+z^2)=4\sum_{\mathbf{cyc}}x^3+\sum_{\mathbf{cyc}} x(3-x^2) \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=3\left(\sum_{\mathbf{cyc}}x^3+x \right )\geq 6 \sum_{\mathbf{cyc}}x^2=18$

[/center:3433c1c364]

Olympiad · 1388/12/29

cyc يعني چي ؟؟!؟!

M_Sharifi · 1388/12/29

Olympiad گفت

مخفف cyclic هستش. یعنی دوری. همون طور که می دونید سیگمای متقارن (symmetric) داریم و دوری.

shoki · 1389/1/11

فرض کنید

و به همین ترتیب برای

حالا به راحتی می توان ثابت کرد :

[center:4fa9d6575b]

[/center:4fa9d6575b]
[center:4fa9d6575b]
و در آخر سر هم از این یکی ftopicp-21376.html#21376 استفاده کنید .این نامساوی ای که بهش اشاره کردم کم کاربرد نداره ...

[/center:4fa9d6575b]

نامساوی مرحله ی 3 سوال 14

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

Olympiad

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member