نامساوی مرحله ی 3 سوال 20

shoki · 1389/1/18

ثابت کنید :

[center:febe974209]

[/center:febe974209]

M_Sharifi · 1389/1/20

سوال جالبی بود.
داریم:
[center:e97a60db7b]

$\left(\sum xy(x+y-z) \right )^2-3\sum x^3y^3 \\\\~~~~~~~~=\sum_{\textbf{sym}}x^4y^2+2\sum_{\textbf{sym}} x^4yz+15x^2y^2z^2-\sum_{\textbf{sym}} x^3y^3 -4\sum_{\textbf{sym}} x^3y^2z\\~~~~~~~~~~~ =\left(\sum_{\textbf{sym}}x^4y^2-2\sum_{\textbf{sym}} x^3y^3\right )+\left(\sum_{\textbf{sym}} x^3y^3+ \sum_{\textbf{sym}} x^4yz+12x^2y^2z^2-3\sum_{\textbf{sym}} x^3y^2z\right)\\~~~~~~~~+xyz\left(\sum_{\textbf{sym}} x^3+3xyz-\sum_{\textbf{sym}} x^2y\right )$

پرانتز اول طبق نابرابری میانگین حسابی-هندسی، نامنفیه. پرانتز سوم هم طبق نابرابری شور و پرانتز دوم رو هم میشه به صورت

$\left(\Big(\sum_{\textbf{cyc}} x^2y\Big)-3xyz \right )\left(\Big(\sum_{\textbf{cyc}} xy^2\Big)-3xyz \right )$

نوشت، که هر دو پرانتز طبق نابرابری میانگین حسابی-هندسی، نامنفی اند.

[/center:e97a60db7b]

shoki · 1389/3/7

لم - این نامساوی رو به خاطر بیارید:
[center:ab510f5fc4]

$\sum (\frac{x}{y+z})(a+b) \ge \sqrt{3(\sum ab)}$

که نتیجه ای از این دو تا نامساوی هست که قبلا اثبات شده:

$\sum x(a+b) \ge 2\sqrt{(\sum xy)(\sum ab)} \ \ , \ \ \sum \frac{xy}{(y+z)(x+z)} \ge \frac{3}{4}$

در واقع در سوال این تاپیک داریم:

$\sum (\frac{z}{x+y})(x^3+y^3) \ge \sqrt{3(\sum x^3y^3)}$

پس حله...
ظاهر نشدن تصاویر عبارات ریاضی در سولاتی که گذاشته بودم رو بعدا درست خواهم کرد.

[/center:ab510f5fc4]

M_Sharifi · 1389/3/7

این هم لینکش: http://reflections.awesomemath.org/2008_1/unexpected_ineq.pdf

نامساوی مرحله ی 3 سوال 20

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی