نامساوی مرحله ی 3 سوال 4

shoki · 1388/12/12

ثابت کنید :
[center:8c5ee7f971]

[/center:8c5ee7f971]برای مشاهده ی سوالات : ftopicp-19744.html#19744

M_Sharifi · 1388/12/12

طبق نابرابری میانگین حسابی-هندسی داریم:
[center:a69b83d5e8]

$a^2b+b^2c+c^2a=\frac12\big(a(c^2+ab)+b(a^2+bc)+c(b^2+ac)\big)\geq\frac32\root{3}\of{abc(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}$

[/center:a69b83d5e8]
[center:a69b83d5e8]

$=\frac32\root{3}\of{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

با نوشتن دو رابطه ی مشابه و ضرب این دو نابرابری نتیجه می گیریم:

$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}\geq\frac32\root{3}\of{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

در نهایت کافی است از نابرابری

$\frac12\root{3}\of{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}\geq abc$

که نتیجه ای از نابرابری میانگین حسابی-هندسی است، استفاده کنیم.

[/center:a69b83d5e8]

shoki · 1388/12/14

من این سوال رو قبلا این جا ارسال کردم ... http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?search_id=942925538&t=314030
راه حل خودم رو بعدا ارسال می کنم... با استفاده از فرض abc=1 حل می شه...