نامساوی مرحله ی 3 سوال 9

shoki · 1388/12/21

اگر

ثابت کنید :

[center:3cc2ba328e]

[/center:3cc2ba328e]

برای مشاهده ی باقی سوالات : ftopicp-19744.html#19744

M_Sharifi · 1388/12/21

shoki گفت

فرض سوال چیه؟؟؟

shoki · 1388/12/21

اصلاح شد.

M_Sharifi · 1388/12/22

راه حل اول.
با توجه به همگن بودن نابرابری فرض می کنیم

$a+b+c=3$

. بنابراین باید ثابت کنیم

$\sum\frac a{(b+c)^2}\geq\frac34$

. طبق نابرابری میانگین حسابی-هندسی،
[center:3eb9cea3a4]

$\frac a{(b+c)^2}+\frac{a(b+c)}8+\frac{a(b+c)}8\geq\frac{3a}4$

با جمع بستن نابرابری های مشابه نتیجه می گیریم

[/center:3eb9cea3a4]

[center:3eb9cea3a4]

$\sum\frac a{(b+c)^2}\geq \frac34(a+b+c)-\frac12(ab+bc+ca)=\frac 94-\frac12(ab+bc+ca)$

حالا کافیه از نابرابری

$ab+bc+ca\leq\frac{(a+b+c)^2}3=3$

استفاده کنیم.

[/center:3eb9cea3a4]
راه حل دوم.

طبق نابرابری کوشی-شوارتز،

[center:3eb9cea3a4]

$\sum a(b+c)^2\sum\frac a{(b+c)^2}\geq\left(\sum a\right)^2\Rightarrow \sum\frac a{(b+c)^2}\geq\frac{(\sum a)^2}{\sum a(b+c)^2}$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$4(\sum a)^3\geq 9\sum a(b+c)^2$

که این نابرابری پس از ساده شدن به صورت

$4\sum a^3+3\sum a^2b+3\sum ab^2\geq30abc$

در می آید، که نتیجه ی نابرابری میانگین حسابی-هندسی است.
راه حل سوم.
با توجه به متقارن بودن نابرابری نسبت به

$a,b,c$

فرض می کنیم

$a\geq b\geq c$

. در این صورت

$\frac1{(b+c)^2}\geq\frac1{(c+a)^2}\geq\frac1{(a+b)^2}$

و طبق نابرابری چبیشف،

$3\sum\frac a{(b+c)^2}\geq(\sum a)\left(\sum\frac 1{(b+c)^2} \right )$

از طرفی طبق نابرابری کوشی-شوارتز،

$\sum\frac 1{(b+c)^2}\geq \frac{(\sum\frac1{b+c})^2}3\geq\frac{\frac9{4(a+b+c)^2}}3$

از ترکیب این دو نابرابری، حکم مسئله به دست می آید.
راه حل چهارم.
با فرض

$a+b+c=3$

باید ثابت کنیم

$\sum\frac a{(b+c)^2}\geq\frac34$

. داریم

$\frac a{(b+c)^2}=\frac a{(3-a)^2}$

. تقعر تابع

$f(x)=\frac x{(3-x)^2}$

در بازه ی

$(0,3)$

، رو به بالاست، چرا که

$f''(x)=\frac{12+2x}{(3-x)^4}>0$

.بنابراین طبق نابرابری ینسن،

$f(a)+f(b)+f(c)\geq3f\left(\frac{a+b+c}3\right)=3f(1)=\frac34$

راه حل پنجم.
باز هم فرض می کنیم

$a+b+c=3$

. برای هر

$x\in(0,3)$

نابرابری

$\frac x{(3-x)^2}\geq\frac12x-\frac14$

برقرار است (چرا؟). بنابراین

$\sum\frac a{(b+c)^2}=\sum\frac a{(3-a)^2}\geq\frac12(a+b+c)-\frac34=\frac34$

راه حل ششم.

فرض می کنیم

$x=\frac{b+c}2,\quad y=\frac{c+a}2,\quad z=\frac{a+b}2$

در این صورت، نابرابری به صورت

$\sum \frac{x+y-z}{z^2}\geq\frac9{x+y+z}$

در می آید. داریم

$\sum \frac{x+y-z}{z^2}-\frac9{x+y+z}=\\ (x+y+z)\left(\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}\right)-2\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right) \right )\right)-\frac9{x+y+z}\\ =\frac1{x+y+z}\left((x+y+z)^2\left(\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}\right)-2(x+y+z)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)-9\right )\\ \geq\frac1{x+y+z}\left(\frac13(x+y+z)^2\left(\frac1{x}+\frac1{y}+\frac1{z}\right)^2-2(x+y+z)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)-9 \right )\\ =\frac1{3(x+y+z)}\left(\left\left((x+y+z)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z\right)-3\right)^2-36 \right)$

[/center:3eb9cea3a4]

در نهایت کافی است از نابرابری

$(x+y+z)\left(\frac1x+\frac1y+\frac1z \right )\geq9$

استفاده کنیم.

shoki · 1388/12/22

عالیه ... دوستان دقت کنند که ایده هایی که استفاده شده به خصوص در راه حل 2 و آخری ، در حل تعداد زیادی از مسائل دیگری که ارسال خواهم کرد استفاده می شود....

راه حل در جزوه راه حل شماره ی 2 هست...

abdi · 1388/12/22

من اين سوال رو با استفاده از نامساوي‌هاي حسابي - توافقي و كوشي - شوارتز جلو رفتم، ولي آخرش نمي‌دونم چرا جوابم برعكس شد.

M_Sharifi · 1388/12/22

abdi گفت

چون احتمالا نابرابری رو درست به کار نبردی و نابرابری، زیادی ضعیف شده.

abdi · 1388/12/22

اگه مي‌شد راه حلمو مي‌ذاشتم تا اشكالشو بهم بگيد، ولي بلد نيستم چطوري فرمول بذارم.

نامساوی مرحله ی 3 سوال 9

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

abdi

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

abdi

New Member