نامساوی نه چندان سخت

threehandsnal · 1390/12/29

ثابت کنید برای هر عدد حقیقی مثبت نابرابری زیر برقرار است و همچنین حالت تساوی را بیابید.

$x^{log_{5}^{2}}+x^{log_{5}^{9}}+x^{log_{5}^{24}}\geq x^{log_{5}^{3}}+x^{log_{5}^{8}}+x^{log_{5}^{18}}$

hkh74 · 1390/12/29

پاسخ : نامساوی نه چندان سخت

فرض کنید

$a=\log _52\; ,b=\log _53$

در اینصورت حکم را می توان تجزیه کرد:

$x^a+x^{2b}+x^{3a+b}\geq x^b+x^{3a}+x^{a+2b}\Leftrightarrow (x^a-1)(x^b-1)(x^a+x^{2a}-x^b)\geq 0$

که این نامساوی برای هر

$0<a<b<2a\; ,x>0$

برقراره و واضحه که a,b در شرایط این نامساوی صدق می کنن.

اما اثبات نامساوی: ضرب دو پرانتز اول بزرگتر یا مساوی صفره و یک حالت تساوی x=1 اینجا به دست میاد.

اگر x<1 آنگاه

$0<a<b\Rightarrow x^a>x^b$

پس پرانتز سوم هم مثبته.

اگر x>1 آنگاه

$0<b<2a\Rightarrow x^{2a}>x^b$

باز هم پرانتز سوم مثبته.

پس نامساوی برقراره و تنها حالت تساوی x=1 است.

سال نو پیشاپیش بر همه مبارک... سال خوبی داشته باشین

نامساوی نه چندان سخت

threehandsnal

New Member

hkh74

New Member