نامساوی (2)

farid_frd · 1389/1/3

برای اعداد مثبت a,b,c ثابت کنید :
[center:471d4f6d6d]

$(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})\geq 2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})$

[/center:471d4f6d6d]

farid_frd · 1389/1/5

اونقدرا هم سخت نیست
یعنی واسه شما ها که اصلا سخت نیست

mahanmath · 1389/1/6

Salam

Bad az bast dadan LHS va sade kardan 2 az do taraf kafie nabari haye ziro ba ham jam konid va be AM-GM beresid

$\150dpi \inline a(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-1 \geq \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}} -1$

farid_frd · 1389/1/7

با ساده کردن طرف چپ نامساوی داریم:

$LHS=-1+\sum\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1$

از طرفی با حسابی هندسی داریم :

$\sum \frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1\geq \sum 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}=\sum \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\rightarrow LHS\geq \frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}-1$

پس حکم به این صورت در می آید:

$\frac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}-1\geq 2(\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+1)$

که با ساده کردن آن به حسابی هندسی میرسیم

نامساوی (2)

farid_frd

New Member

farid_frd

New Member

mahanmath

New Member

farid_frd

New Member