نامساوی 3متغیره

Aref · 1389/1/24

برای اعداد حقیقی و مثبت a,b,c داریم abc=1. ثابت کنید:

seifi_seifi · 1389/1/25

راه حل اول:

طبق شور داریم :

$\100dpi \sum a^3 + 3 \geq \sum a^2b + \sum ab^2$

و دوباره طبق شور داریم :

[center:d9931715aa]

$\100dpi \sum (ab)^3 + 3 \geq \sum a^3b^2c + \sum a^2b^3c=\sum a^2b + \sum ab^2$

[/center:d9931715aa]پس داریم :

[center:d9931715aa]

$\100dpi \sum (ab)^3 + \sum a^3 \geq 2\sum a^2b + \underset{\geq 6}{\underbrace{2\sum ab^2}} - 6 \geq 2\sum a^2b$

[/center:d9931715aa]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

راه حل دوم : طبق حسابی هندسی داریم :

$a^3+(ab)^3+1\geq3a^2b$

و

$b^3+(bc)^3+1\geq3b^2c$

و

$c^3+(ca)^3+1\geq3c^2a$

پس داریم :

[center:d9931715aa]

$\100dpi \sum a^3 + \sum (ab)^3 \geq 3\sum a^2b -3 \geq 2\sum a^2b$

[/center:d9931715aa]

نامساوی 3متغیره

Aref

New Member

seifi_seifi

New Member