نامساوی (4)

farid_frd · 1389/1/3

$x_{1},...,x_{n}$

اعداد حقیقی و مثبت بوده و

$\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n$

. ثابت کنید :
[center:d7ac8515ae]

$\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{1+\sum_{i\neq j}x_{j}}\geq 1$

[/center:d7ac8515ae]

navidjalalmanesh · 1389/1/3

$A = \sum\frac{x_i}{n+1-x_i}$

= حکم سوال
طبق نامساوی کوشی داریم :

$A \times (\sum x_i(n+1-x_i)) \geq (\sum x_i)^2$

و همچنین

$\sum x_i(n+1-x_i) = n \times (n+1) - \sum x_i^2$

پس داریم :

$A \geq \frac{n^2}{n^2+n-\sum x_i^2}$

و کافی است ثابت کنیم

$\sum x_i^2 \geq n$

.

که این نیز طبق نامساوی کوشی درست است .