نا برابري

IMOgoldmedal · 1389/7/29

براي اعداد غير منفي

$a,b,c$

با مجموع 3 نشان دهيد:

$\frac{ab+bc+ca}{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{36}$

shoki · 1389/7/29

uvw . اگه راه حل کامل هم می خواین مشکل نیست.

mrbayat · 1389/7/29

shoki گفت

میشه راهتون رو بذارید.

shoki · 1389/7/29

بعد از نوشتن عبارت بر حسب uvw به دست میاد:

یعنی باید ثابت کنیم عبارت بالا حداقل صفره. عبارت بالا بر حسب w^3 یک تابع مقعره بنابراین کافیه به ازای حالات a=b و a=0 این نامساوی چک بشه. که حله.
دقت کنید که در اینجا u=1 چون 3u=a+b+c=3 طبق فرض.

mrbayat · 1389/7/30

shoki گفت

من موفق به دیدن شکل نمیشم.چرا؟ایراد از explorer هستش یا چیز دیگه؟

shoki · 1389/7/30

عجیبه .... دیروز می دیدمش ولی امروز نه

اینه :

$9(81v^8-9v^6w^3-81v^6-81v^4+18v^2w^3+93v^2-w^6-9w^3)$

mrbayat · 1389/7/30

shoki گفت

اگه wolfram نبود حالشو داشتید که از این راه برید؟؟

shoki · 1389/7/30

اگه بدونید من تا حالا چه کارایی کردم که می فهمین این عبارت در مقابل اون هیچی نیست

خرکاری برای حل کردن مسائل لازمه ... من زمانی از wolfram استفاده می کنم که عبارتی باشه که می دونم می تونم در زمان حداکثر 30 ثانیه ای حسابش کنم!!! الان این یکی خیلی کم بود ... در اصل من با wolfram این رو حساب کردم :
[center:9d4ececbe6]

$108v^2-(27v^6-27v^2+3w^3)(27-27v^2+3w^3)$

[/center:9d4ececbe6][center:9d4ececbe6]

که اینو با دست هم خیلی راحت می شه حساب کرد ...
از خرکاری اصلا نباید ترسید ... با تمرین می شه عبارات زیادی رو محاسبه کرد و نامساوی های زیادی رو حلید ... مثلا سعی کنید اینو در کم ترین مدت زمان بسطش بدید :

$\sqrt{3}\sqrt[3]{\prod (a+b)} \ge 2\sqrt{\sum ab}$

[/center:9d4ececbe6]

M_Sharifi · 1389/7/30

IMOgoldmedal گفت

فرض کنید

$a\geq b\geq c$

و

[center:f4bb70be1f]

$f(a,b,c)=\frac{ab+bc+ca}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}-\frac{a^3+b^3+c^3}{36}$

با تغییر

$(a,b,c)\to(a+c,b,0)$

به راحتی می توان نشان داد که عبارت

$\frac{ab+bc+ca}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}$

کاهش و عبارت

$a^3+b^3+c^3$

افزایش می یابد. بنابراین

$f(a,b,c)\geq f(a+c,b,0)$

و کافیست نابرابری را در حالت

$c=0$

بررسی کنیم. در این حالت

$a+b=3$

و

$f(a,b,0)=\frac1{a^2b^2}-\frac{a^3+b^3}{36}=\frac{(ab-2)^2(ab+1)}{4a^2b^2}\geq0$

[/center:f4bb70be1f][center:f4bb70be1f]

تساوی زمانی اتفاق می افتد که

$\{a,b,c\}=\{0,1,2\}$

.

[/center:f4bb70be1f]

نا برابري

IMOgoldmedal

New Member

shoki

New Member

mrbayat

New Member

shoki

New Member

mrbayat

New Member

shoki

New Member

mrbayat

New Member

shoki

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی