همرسی برخورد میانه با دایره ی محیطی

Aref · 1390/11/30

در مثلث

$\triangle{ABC}$

میانه ی وارد بر ضلع

$BC$

دایره ی محیطی مثلث را در نقطه ی

$D$

قطع می کند. فرض کنید

$D^{\prime}$

پای عمود وارد بر

$BC$

از نقطه ی

$D$

باشد. فرض کنید

$A^{\prime}$

قرینه ی نقطه ی

$D^{\prime}$

نسبت به نقطه ی

$D$

باشد.

$B^{\prime},C^{\prime}$

هم به طریق مشابه تعریف می شوند.
ثابت کنید

$AA^{\prime},BB^{\prime},CC^{\prime}$

همرسند.

mahanmath · 1390/12/1

پاسخ : همرسی برخورد میانه با دایره ی محیطی

$AA' \cap BC = X \\ M \in BC \wedge BM=MC \\H \in BC \wedge AH \perp BC$

$MA^2 = \frac{b^2}{2} + \frac{c^2}{2} -\frac{a^2}{4} \Rightarrow \boxed {\frac{MX}{MH} = \frac{a^2}{2(b^2 +c^2)}}$

$AH \parallel A'D' \, ,\, DD'=DA' \Rightarrow -1=A(D',A',D,H)=(D',X,M,H) \\ \\ \implies \\ \\ \frac{MX}{MH}=\frac{D'M}{D'H}=\frac{DM}{DM+MA}=\frac{1}{1+\frac{MA}{DM}} = \frac{1}{1+\frac{MA^2}{MA.DM}} = \frac{1}{1+\frac{MA^2}{\frac{a^2}{4}}}$

$MH = \frac{\left | b^2 -c^2 \right |}{2a} \Rightarrow \boxed{\frac{BX}{XC} = \frac{a^2 + 3b^2 + c^2}{a^2 + b^2 +3c^2}}$

پس طبق قضیه سوا این ۳ تا خط همرسن :87:.

عارف اگه راه تر و تمیز داره یه راهنمایی بکن لطفا ، ممنون .

Aref · 1390/12/2

پاسخ : همرسی برخورد میانه با دایره ی محیطی

ممنون. حل منم با محاسبه بود. حل دیگه ای نمی دونم.
ولی فقط اینو میدونم که یه ربط هایی به لموان داره. چون نقطه ی همرسیشون روی خط

$GG^{\prime}$

قرار داره.

همرسی برخورد میانه با دایره ی محیطی

Aref

New Member

mahanmath

New Member

Aref

New Member