همه ی اعداد اول p

[M_Sharifi]

دوتا سوال قشنگ:
الف) همه ی اعداد اول

را بیابید که

مربع کامل شود.
ب) همه ی اعداد اول

را بیابید که

مربع کامل شود.

 

[mohammad_72]

عجب اشتباه تابلويي كردما!!!
نمي‌دونم اين سؤال سخته يا من هنگ كردم ولي تنها چيزي كه تونستم ثابت كنم اينه كه 7[SUP]p-1/2[/SUP]+1=2a[SUP]2[/SUP]; 7[SUP]p-1/2[/SUP]-1=2b[SUP]2[/SUP]p و يه چند تا نتيجه‌ي ساده از همين تساويها!

 

[M_Sharifi]

داريم : (7[SUP]p-1/2[/SUP] + 1)(7[SUP]p-1/2[/SUP]-1) = m[SUP]2[/SUP]p پس دو حالت ممكنه يا 7[SUP]p-1/2[/SUP] + 1 = a[SUP]2[/SUP] و 7[SUP]p-1/2[/SUP] - 1 = b[SUP]2[/SUP]p كه نتيجه ميده
(a-1)(a+1) = 7[SUP]p-1/2[/SUP] كه امكان نداره. يا 7[SUP]p-1/2[/SUP] - 1 = a[SUP]2[/SUP] و 7[SUP]p-1/2[/SUP] + 1 = b[SUP]2[/SUP]p كه نتيجه ميده يا a[SUP]2[/SUP]+1 مضرب هفته
(كه امكان نداره) يا p = 3 كه با جاگذاري ميبينيم كه p=3 يه جواب مسأله هست.
براي 11 به طريق كاملا مشابه عمل مي‌كنيم ولي اين دفعه p=3 رو جاگذاري مي‌كنيم مي‌بينيم كه صدق نمي‌كنه پس
قسمت ب جواب نداره.

ب.م.م 7[SUP]p-1/2[/SUP]-1 و 7[SUP]p-1/2[/SUP] + 1 برابر 2 هستش نه 1. بنابراین همه ی اون چیزایی که نوشتی، غلطه. عجیبه که همچین اشتباهی کردی.

 

[mohammad_72]

آقاي شريفي يه راهنمايي مي‌كنين ؟

 

[M_Sharifi]

سوال قشنگیه.

جوابی از مسئله است. بنابراین فرض می کنیم

.

[center:abf131607a]

[/center:abf131607a][center:abf131607a]

اما

. پس

باید مربع کامل بشه. ولی

که تناقضه. حالا قسمت دوم سوال رو حلش کن.​

[/center:abf131607a]

 

[mohammad_72]

با جاگذاري مي‌بينيم p = 5 جواب مسأله نيست. پس به طريق مشابه و از اونجا كه مرتبه‌ي 11 به پيمانه‌ي 25 برابره با 5 با فرض a = 11^k بايد A=a^4-a^3+a^2-a+1 مربع كامل باشه ولي 4A بين (2a^2 - a)^2 و (2a^2 - a + 1)^2 هستش (البته با فرض a>1) كه نشون ميده هيچ جوابي نداره.

 

[M_Sharifi]

غلطه. چون این دفعه

و

.

 

[mohammad_72]

آقاي شريفي جواب سؤالو بذارين !

 

[M_Sharifi]

اگه رابطه ی

رو به پیمانه ی 3 در نظر بگیریم نتیجه میشه که

زوجه. بنابراین

[center:2300eb7779]

[/center:2300eb7779]بنابراین دو تا حالت پیش میاد:

1)

. در این صورت

که تناقضه، چون 11 به فرم 4k+3 هستش.
2)

. در این صورت

[center:2300eb7779]

که باز هم غیر ممکنه.
​

[/center:2300eb7779]