همه ی توابع f:R--->R

M_Sharifi · 1389/2/29

یه سوال:
همه ی توابع

$f:\Bbb R\to\Bbb R$

را بیابید که برای هر دو عدد حقیقی

$x,y$

،

[center:a9d9ab3d52]

$f\big(x+yf(x)\big)+f\big(xf(y)-y\big)=f(x)-f(y)+2xy$

[/center:a9d9ab3d52]

mohammad2004 · 1389/3/1

واقعا سوال قشنگی بود

اول ثابت کردم کوشیه بعد یه جا یه تجزیه قشنگ میشه وf(x)+x)/2) رو میگیریم یه تابع جدید که تابع جدید هم ضربیه و هم جمعی که به راحتی حل میشه. فقط یه جا باید 2 حالت واسه (f(1 در نظر بگیریم که 1 یا -1 هست که تو هر حالت نتیجه میده f(x) =x یا f(x)=-x

mohammad2004 · 1389/3/3

بابا یه تشکری چیزی

من از این سایت طرد شدم؟؟؟

M_Sharifi · 1389/3/5

یه کار دیگه ای هم که میشه کرد، اینه که اول جمعی بودن تابع رو نتیجه بگیرید. بعد مثلا در حالت

$f(1)=1$

ثابت کنید

[center:23aabceb32]

$f(f(x))+f(x)=2x,\quad f(xf(x))=x^2$

[/center:23aabceb32]حالا با تبدبل

$x\to f(x)$

داریم

[center:23aabceb32]

$f(x)^2=f\big(f(x)f(f(x))\big)=f\big(f(x)(2x-f(x)\big)=2f\big(xf(x)\big)-f\big(f(x)^2\big)\\ ~~~~~~~~=2x^2-f\big(f(x)^2\big)\Rightarrow f\big(f(x)^2\big)+f(x)^2=2x^2=f(x^2)+f\big(f(x^2)\big)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow f\big(f(x)^2-f(x^2)\big)=f(x^2)-f(x)^2$

حالا فرض کنید

$f(x)^2-f(x^2)=a$

(البته

$a$

تابعی از

$x$

است). در این صورت

$f(a)=-a$

و در نتیجه

$0=f(a)+f(f(a))=2a\Rightarrow a=0$

بنابراین

$f(x^2)=f(x)^2$

، که صعودی بودن تابع را نتیجه می دهد. ضمن این که تابع جمعی با شرط صعودی بودن، یک تابع خطی است و مسئله حل می شود.

[/center:23aabceb32]

همه ی توابع f:R--->R

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mohammad2004

New Member

mohammad2004

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی