همه ی توابع h:N--->N

M_Sharifi · 1389/1/4

یِه سوال قشنگ:
همه ی توابع

$h:\Bbb N\to\Bbb N$

را بیابید که برای هر عدد طبیعی

$n$

،

[center:588681003f]

$h\left(h(n)\right)+h(n+1)=n+2$

[/center:588681003f]

majidgoodarzi · 1389/2/26

سوال سختیه.راهنمایی:
(h(1),h(2),h(3 را در نظر می گریم
h(x)=[xa]+1
(a عدد طلایی)

M_Sharifi · 1389/2/26

برای حل این تیپ مسئله ها می تونید اعداد و مقادیر تابع به ازای اون ها رو در مبنای فیبوناچی ببرید تا دقیقا ببینید که چه ارتباطی میان یک عدد و مقدار تابع در اون عدد وجود داره. درنهایت هم توی این سوال باید از یکی از اتحادهای مربوط به دنباله ی فیبوناچی استفاده کنید.

majidgoodarzi · 1389/2/26

سلام اقای شریفی. میشه حل کامل این سوال رو بذارید.به نظر نکات اموزشی خوبی داشته باشه.با تشکر

mohammad_72 · 1389/2/26

تو این سوال

$h(n) = [n\alpha]+1;\alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

و a برابر با نسبت طلایی نیست !

M_Sharifi · 1389/2/26

majidgoodarzi گفت

سلام. نوشتن کاملش یه مقدار زمان بره. ولی به طور خلاصه:
فرض کنید

$\{f_i\}_{i=1}^\infty$

دنباله ی فیبوناچی باشه. اول این که این که هر عدد طبیعی رو میشه به صورت یکتا به فرم

[center:c07992fd78]

$f_{i_1}+f_{i_2}+\cdots+f_{i_k}$

نمایش داد که

$i_1<i_2<\cdots<i_k$

و هیچ دوتایی از این اعداد متوالی نباشند.
حالا مقادیر اولیه ی تابع

$h$

رو به دست بیارید. شاید بد نباشه که تا 35 جلو برید.
حالا نمایش مبنای فیبوناچی

$n$

و

$h(n)$

را به ازای

$n=1,2\ldots,35$

با هم مقایسه کنید. مخصوصا به مقادیر

$h(n)$

به ازای جملات فیبوناچی توجه کنید. به ازای

$n$

هایی که

$i_1$

فرده، یه رابطه ای برقراره و به ازای

$i_1$

های زوج هم یه رابطه ی دیگه، که باید بتونید پیداش کنید.
به این ترتیب مقدار هر عدد دلخواه رو میشه با توجه به نمایشش توی مبنای فیبوناچی به دست آورد.
در نهایت برای این که فرم بهتری برای تابع به دست بیارید می تونید مثلا از اتحاد

$f_{a+b}=\alpha^af(b)+\beta^bf(a)$

استفاده کنید، که

$\alpha,\beta$

ریشه های معادله ی مشخصه ی فیبوناچی اند. حالا با کمی دقت میشه فهمید که

$h(n)=\left\lfloor\left(\frac{\sqrt5-1}2\right)n\right\rfloor+1$

[/center:c07992fd78]

همه ی توابع h:N--->N

M_Sharifi

راهبر ریاضی

majidgoodarzi

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

majidgoodarzi

New Member

mohammad_72

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی