وتر

[farsam]

در یک دایره n وتر طوری رسم شده اند که هیچ 3 تایی از انها از یک نقطه نمیگذرد . فرض کنید این وتر ها در مجموع m نقطه تقاطع

درون دایره داشته باشند و r تعداد پاره خطهایی باشد که این نقاط روی وتر ها ایجاد کرده باشن . ثابت کنید :

r=2m+n

 

[farsam]

چرا کسی نظرشو نمیگه؟؟

 

[h-amir]

هر نفطه تقاطع از بر خورد 2 وتر می باشد که توسط آن نقطه به 4 پاره خط تقسیم می شود
r=4m+n-2m

 

[farsam]

n-2m را چرا نوشتی؟ بیشتر توضیح بده!

 

[ehsan-mokhtarian]

هر نقطه محل برخورد 4 پاره خط است ولی ما هر پاره خط را برای 2 نقطه حساب کردیم پس می شود

ولی هر پاره خط بین 2 نقطه نیست (1 نقطه و محیط دایره) که تعدادشان 2n هست که ما این تعداد را نصف کردیم پس حالا نصف این تعداد یعنی د تا باید به آن اضافه کرد پس جواب می شود 2m +n

 

[farsam]

راه خودم:

اگر وتری مانند s دارای d نقطه تقاطع باشه دارای d+1 پاره خطه . پس تعداد کل پاره خطامون برابر تعداد نقاط تقاطع به علاوه ی n تا 1 میشه . حالا برای بدست اوردن تعداد

کل نقاط تقاطع میاییم یک جدول m*n در نظر میگیریم که در ان هر سطر متناظر با یک وتر و هر ستون متناسب با هر نقطه است و همانطور که از صورت سوال بر میاید جمع

اعداد واقع در هر ستون 2 است و جمع اعداد هر سطر برابر تعداد نقاط تقاطع واقع بر هر سطر است و طبق اصل دوگانه شماری جمع اعداد واقط بر سطور برابر 2m خواهد

شد پس جواب مسئله 2m+n میشود .