يه سوال هندسه از المپياد شاريگين روسيه 2009

[abdi]

در مثلث ABC، مي‌دانيم O و H به ترتيب مركز دايره محيطي و مركز ارتفاعي‌اند. D و E و F نيز به ترتيب پاي ارتفاع‌هاي وارد از A و B و C هستند. اگر K قرينه‌ي C نسبت به DE باشند، نشان دهيد OHFK محاطي است.

 

[seifi_seifi]

میدانیم : OCB=90-A و EDC=A پس CO بر DE عمود است و از طرفی CK نیز بر DE عمود است پس : C,O,K همخطند.

برای این که ثابت کنیم OHFK محاطی است باید ثابت کنیم : CO×CK=CH×CF و از طرفی DHFB محاطی است پس CH×CF=CD×CB پس باید ثابت کنیم : ODBK محاطی است.

داریم : DC=DK پس DKC=DCK=DBO پس ODBK محاطی است و اثبات کامل شد.... .