سلام . فرض کنیم میشود رنگ کرد . ادعا میکنیم که مجموع کل تعداد یال های وجه های یک رنگ با تعداد یال های کل چند وجهی برابر است . چون هر یال جزو دو وجه غیر هم رنگ است پس در شماش یال های کل وجه های یک رنگ شمرده میشود از طرفی چون هریال فقط مختص یک وجه از یک رنگ است (مثلا سفید یا سیاه) پس در شمارش کل یال های یک رنگ فقط یک بار شمرده میشود . پس ادعایمان ثابت شد .
حال تعداد کل یال هارا به وسیله وجه های هردو رنگ میشمریم که این دو مقدار برابر کل یال ها وبا هم برابر هستند .از طرفی آن وجه که تعداد یال هایش بر n بخش پذیر نیست را در نظر بگیرید در شمارش یال های این رنگ(یال های وجه های همرنگ با این وجه) در می یابیم که تعداد کل یال ها بر n بخش پذیر نیست .(چون بقیه مضرب n اند وفقط این وجه مضرب n نیست) از طرفی باشمارش یال های کل رنگ مخالف که تعداد یال های هر وجهش برn بخش پذیر است مییابیم که تعداد کل یال ها مضرب n است که این تناقض است.
حال تعداد کل یال هارا به وسیله وجه های هردو رنگ میشمریم که این دو مقدار برابر کل یال ها وبا هم برابر هستند .از طرفی آن وجه که تعداد یال هایش بر n بخش پذیر نیست را در نظر بگیرید در شمارش یال های این رنگ(یال های وجه های همرنگ با این وجه) در می یابیم که تعداد کل یال ها بر n بخش پذیر نیست .(چون بقیه مضرب n اند وفقط این وجه مضرب n نیست) از طرفی باشمارش یال های کل رنگ مخالف که تعداد یال های هر وجهش برn بخش پذیر است مییابیم که تعداد کل یال ها مضرب n است که این تناقض است.
