چند اثبات از اتحاد اویلر

FPasha · 1393/1/6

می‌دانیم که اتحاد اویلر بدین صورت است:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{_{2}}+y^{_{2}}+z^{_{2}}-xy-yz-xz)$

اگر a ،b و c سه عدد باشند رابطهٔ زیر با استفاده از این اتحاد اثبات می‌‌شود:
اگر

$a+b+c=0$

یا

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc \leftrightarrow a=b=c$

حال با استفاده از رابطهٔ فوق به سوالات زیر پاسخ دهید:

1) اگر مجموع سه عدد a ، b و c صفر شود، ثابت کنید که:

$2(a^{5}+b^{5}+c^{5})=5abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

2) اگر مجموع چهار عدد a ، b ، c و d صفر شود، ثابت کنید که:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}=3(abc+bcd+cda+dab)$

برای سوال 2 راهنمایی‌‌ای هم که داده اینه:
3 بار اتحاد اویلر را برای {a,b,c} ، {a,b,d} و {b,c,d} بنویسید و این سه اتحاد را با هم جمع کنید.

3)با مقایسه رابطه پیشین و پاسخ قسمت 2 حدسی منطقی‌ بزنید.

4)با نتیجه گیری از قسمتهای قبلی‌،عبارت زیر را کامل کنید.

$a+b+c+d+e=0\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+e^{3}=3(...)$

دوستان خواهشا هرکی‌ تونست با راه حل کامل پاسخ این ۴ سوال رو بده.

AHZolfaghari · 1393/1/7

پاسخ : چند اثبات از اتحاد اویلر

justified گفت

می‌دانیم که اتحاد اویلر بدین صورت است:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{_{2}}+y^{_{2}}+z^{_{2}}-xy-yz-xz)$

اگر a ،b و c سه عدد باشند رابطهٔ زیر با استفاده از این اتحاد اثبات می‌‌شود:
اگر

$a+b+c=0$

یا

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc \leftrightarrow a=b=c$

حال با استفاده از رابطهٔ فوق به سوالات زیر پاسخ دهید:

1) اگر مجموع سه عدد a ، b و c صفر شود، ثابت کنید که:

$2(a^{5}+b^{5}+c^{5})=5abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

2) اگر مجموع چهار عدد a ، b ، c و d صفر شود، ثابت کنید که:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}=3(abc+bcd+cda+dab)$

برای سوال 2 راهنمایی‌‌ای هم که داده اینه:
3 بار اتحاد اویلر را برای {a,b,c} ، {a,b,d} و {b,c,d} بنویسید و این سه اتحاد را با هم جمع کنید.

3)با مقایسه رابطه پیشین و پاسخ قسمت 2 حدسی منطقی‌ بزنید.

4)با نتیجه گیری از قسمتهای قبلی‌،عبارت زیر را کامل کنید.

$a+b+c+d+e=0\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+e^{3}=3(...)$

دوستان خواهشا هرکی‌ تونست با راه حل کامل پاسخ این ۴ سوال رو بده.

پاسخ سوالات در این لینک :
http://upload7.ir/imgs/2014-03/30992961438528203017.jpg

maryam1377 · 1393/1/8

پاسخ : چند اثبات از اتحاد اویلر

justified گفت

می‌دانیم که اتحاد اویلر بدین صورت است:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{_{2}}+y^{_{2}}+z^{_{2}}-xy-yz-xz)$

اگر a ،b و c سه عدد باشند رابطهٔ زیر با استفاده از این اتحاد اثبات می‌‌شود:
اگر

$a+b+c=0$

یا

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc \leftrightarrow a=b=c$

حال با استفاده از رابطهٔ فوق به سوالات زیر پاسخ دهید:

1) اگر مجموع سه عدد a ، b و c صفر شود، ثابت کنید که:

$2(a^{5}+b^{5}+c^{5})=5abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

2) اگر مجموع چهار عدد a ، b ، c و d صفر شود، ثابت کنید که:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}=3(abc+bcd+cda+dab)$

برای سوال 2 راهنمایی‌‌ای هم که داده اینه:
3 بار اتحاد اویلر را برای {a,b,c} ، {a,b,d} و {b,c,d} بنویسید و این سه اتحاد را با هم جمع کنید.

3)با مقایسه رابطه پیشین و پاسخ قسمت 2 حدسی منطقی‌ بزنید.

4)با نتیجه گیری از قسمتهای قبلی‌،عبارت زیر را کامل کنید.

$a+b+c+d+e=0\rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+e^{3}=3(...)$

دوستان خواهشا هرکی‌ تونست با راه حل کامل پاسخ این ۴ سوال رو بده.

این سوالا از کجا هست؟سوال 2و3و4با راه حلی که خودتون گفتین حل میشه یک هم باید به جای a ،-b-cبذارید. [MENTION=17975]justified[/MENTION]

چند اثبات از اتحاد اویلر

FPasha

New Member

AHZolfaghari

Well-Known Member

maryam1377

New Member