چند تا سوال از دو گونه شمردن 3-3

[mohamadreza salehi]

سلام گفتم دوباره این بحث را بندازیم ولی باسوالای یکم قوی تر امید وارم سوالام به دردتون بخوره :
1- در یک مسابقه ی ریاضی شش سوال به شرکت کننده ها داده میشود هر جفت مساله را بیش از دو پنجم افراد حل کرده اند هیچکسی هر 6 مساله را حل نکرده. نشان دهید که حد اقل دو شرکت کننده وجود دارند که هر کدام دقیقا پنج مساله حل کرده اند
2-در یک ارایه ی مستطیلی از اعداد حقیقی نا منفی با m سطر و n ستون هر سطر و هر ستون شامل حداقل یک عدد مثبت هستند بعلاوه اگر سطر و ستونی در یک عدد مثبت تلاقی کنند مجموع اعضای ان ها با هم برابر است ثابت کنید m=n
3-سازمانی دارای n عضو و n+1 انجمن است هیچ دو انجمنی دارای اعضای یکسانی نیستند ثابت کنید دو انجمن وجود دارد که دقیقا در یک عضو اشتراک دارند

 

[ghobadi]

پاسخ : چند تا سوال از دو گونه شمردن 3-3

جواب 2 : فرض می کنیم که مجموع سطر i را با

نشون میدیم و مجموع ستون i را با

چون

پس تعداد

ها برابره تعداد

هست .
جواب 3 : فرض کنید که حکم درست نباشه پس هر انجمن باید حداقل اعضا رو داشته باشه که همون 1 نفر هست ولی بر اساس اصل لانه ی کبوتری 1 نفر هست که در 2 انجمن هست که این نتیجه میده حکم اصلی درسته .

 

[mohamadreza salehi]

پاسخ : چند تا سوال از دو گونه شمردن 3-3

خوب بچه ها سوال دو و سه اسون بود (برای دست گرمی!!) رو یک نظری ندارید ؟

 

[goodarz]

پاسخ : چند تا سوال از دو گونه شمردن 3-3

فکر کنم یه جای دیگه هم گفتم که سوال 6 imo2005 بوده...شمارش دوگانس اونم منتها یه کمی نکته داره...

 

[zz_torna2]

پاسخ : چند تا سوال از دو گونه شمردن 3-3

سوال1:

راهنمایی:جدول

تشکیل میدیم.

+راستی من ثابت کردم حداقل 4 نفر به 5 سوال پاسخ دادن!!!:4:

 

[zz_torna2]

پاسخ : چند تا سوال از دو گونه شمردن 3-3

از اونجایی که آقا گودرز گفتن سوال imo بوده به جوابم شگ کردم پس کامل مینویسمش:

جدول تشکیل میدیم.که n سطر برای n سواله و انتخابای 2 از6 برای جفت سوالات هستش.در محل برخورد سطر i ام و ستون j ام 1 میزاریم هر گاه هر جفت سوال مربوط به اون ستون توسط فرد موجود در سطر i ام پاسخ داده شده باشه.

مجموع ستون j رو b_j و مجموع اعداد سطر iام رو با a_i نشون میدیم.

حالا فرض میکنیم حداکثر یک نفر به 5 سوال پاسخ داه باشه پس

پس حداقل دو نفر هستن که به 5 سوال پاسخ دادن.

+البته اونجا با فرض اینکه حداکثر 3 نفر به 5 سوال پاسخ دان باز هم به تناقض میرسیم پس حداقل 4 نفر به 5سوال جواب دادن.

 

[goodarz]

پاسخ : چند تا سوال از دو گونه شمردن 3-3

راه حلتون یه جوب ظریف داره...

و نه اون چیزی که شما نوشتین...

 

[zz_torna2]

پاسخ : چند تا سوال از دو گونه شمردن 3-3

حق با شماست خیلی ظریف بود:4:

ولی تنها حالتی که باید دیگه بررسی کنیم تا به تناقض برسیم (و اثبات حکم تموم بشه)برای n=5k+2 هستشو در حالتی که n-1 تا از افراد به 4 سوال و یه نفر به 5 سوال جواب داده و هر جفت سوال توسط 2k+1 نفر پاسخ داده شدهاند به جز یه جفت که توسط 2k+2 نفر پاسخ داده شدهاند حالا چه جوری به تناقض برسیم ..........؟!!!

 

[goodarz]

پاسخ : چند تا سوال از دو گونه شمردن 3-3

خب دیگه...نکته سوال همینجاست...سعی کنید یه سری چیزارو بریزید دور و اون موقع بشمرید!