چهار جمله ی متوالی از مثلث خیام-پاسکال

M_Sharifi · 1389/6/5

یه سوال:
اگر

$a_1,a_2,a_3,a_4$

چهار جمله ی متوالی از یک سطر مثلث خیام-پاسکال باشند، ثابت کنید اعداد

[center:9782ff749f]

$\frac{a_1}{a_1+a_2},\quad \frac{a_2}{a_2+a_3},\quad \frac{a_3}{a_3+a_4}$

[/center:9782ff749f]تشکیل یک تصاعد حسابی می دهند.

mrbayat · 1389/6/5

به جای

$a_1,a_2,a_3,a_4$

به ترتیب قرار میدهیم:

$\binom{n}{k},\binom{n}{k+1},\binom{n}{k+2},\binom{n}{k+3}$

(چون در سطر n ام مثلث خیام پاسکال جملات از

$\binom{n}{0}$

شروع می شوند و به

$\binom{n}{n}$

ختم می شوند)

$\frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}}=\frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}}=\frac{\binom{n}{k}}{\binom{n+1}{k+1}}=\frac{k+1}{n+1}$

در این عبارت از اتحاد پاسکال استفاده شده است.
به طور مشابه به دست می آوریم:

$\frac{a_{3}}{a_{3}+a_{4}}=\frac{k+3}{n+1}$

و

$\frac{a_{2}}{a_{2}+a_{3}}=\frac{k+2}{n+1}$

پس این سه جمله تصاعدی حسابی با قدر نسبت

$\frac{1}{n+1}$

تشکیل می دهند.