کران تعداد جوابهای همنهشتی

amir.ekhlasi · 1390/3/21

فرض کنید

$n$

عدد طبیعیی باشد،

$a_1,...,a_n$

اعداد صحیحی باشند،

$r_1,...,r_n$

اعداد طبیعیی باشند و

$p$

عدد اولی باشد به طوری که

$p \not | a_i \ (i=1,...,n)$

. فرض کنید

$N$

تعداد

$n$

تاییهای صحیحی مانند

$(x_1,...,x_n)$

باشد که

$0\leqslant x_i<p$

و

$p|a_1x_1^{r_1}+a_2x_2^{r_2}+...+a_nx_n^{r_n}$

. ثابت کنید

$|N-p^{n-1}|\leqslant p^{n/2}\prod_{i=1}^n {(r_i-1)}$

.

amir.ekhlasi · 1390/3/22

پاسخ : کران تعداد جوابهای همنهشتی

این واقعا سخت ترین مسئله ای است که من تو عمرم دیدم. چون به هیچ نتیجه خاصی نرسیده ام و برای n هیچ ایده ی خاصی ندارم. کسی کمک نمیکنه :13::13::190:

M_Sharifi · 1390/3/23

پاسخ : کران تعداد جوابهای همنهشتی

راهنمایی: اگه

$\varepsilon=e^{\frac{2\pi i}{p}}$

اون وقت تعداد جواب های معادله میشه

$\sum_{x_1,\ldots,x_n=0}^{p-1}\left(\frac1p\sum_{r=0}^{p-1}\varepsilon^{r(a_1x_1^{r_1}+\cdots+{a_nx_n^{r_n}})} \right )=\frac1p\sum_{r=0}^{p-1}\sum_{x_1,\ldots,x_n=0}^{p-1}\varepsilon^{r(a_1x_1^{r_1}+\cdots+{a_nx_n^{r_n}})}\\ ~~~~~~×~~~~~~~~=\frac1p\sum_{r=0}^{p-1}\left( \prod_{i=1}^{n}\sum_{x=0}^{p-1}\varepsilon^{rx^{r_i}}\right ) =p^{n-1}+\frac1p\sum_{r=1}^{p-1}\left( \prod_{i=1}^{n}\sum_{x=0}^{p-1}\varepsilon^{rx^{r_i}}\right )$

حالا سعی کنید کرانی برای عبارت

$\sum_{x=0}^{p-1}\varepsilon^{rx^{r_i}}$

به دست بیارید.

amir.ekhlasi · 1390/3/23

پاسخ : کران تعداد جوابهای همنهشتی

ایده جالبیه :39:

amir.ekhlasi · 1390/3/23

پاسخ : کران تعداد جوابهای همنهشتی

من چیز جالبی درباره مسئله فهمیدم. برای n>=3 اگر نمودار N بر حسب p را برای این چند جمله ای رسم کنیم، وقتی p به بینهایت میل میکند، N نیز به بینهایت میل میکند.

amir.ekhlasi · 1390/3/23

پاسخ : کران تعداد جوابهای همنهشتی

داریم

$\sum _{x=0}^{p-1}\varepsilon ^{rx^{r_i}}=\sum _{y=0}^{p-1}m(y)\varepsilon ^{ry}$

که در آن

$m(y)$

تعداد جوابهای معادله همنهشتی

$y\equiv x^{r_i} \ (mod \ p)$

است. برای

$y=0$

،

$m(y)=1$

. برای

$y>0$

فرض کنید

$g$

ریشه

$p-1$

ام اولیه به پیمانه

$p$

باشد و فرض کنید

$y \equiv g^k \ \ 0\leq k<p-1$

. در اینصورت معادله تبدیل به یک معادله توانی می شود:

$r_iu\equiv k \ (mod \ p-1)$

. در اینصورت اگر فرض کنیم

$d_i=(r_i,p-1)$

، آنگاه

$m(y)=\left\{\begin{matrix} d_i \ \ \ (k|p)\\ 0 \ \ \ (k \not | p) \end{matrix}\right.$

حال میتوانیم دوباره از ایده آقای شریفی برای نوشتن

$m(y)$

به صورت جبری استفاده کرد. فرض کنید

$\zeta _i=e^{2\pi i /d_i}$

. در اینصورت

$m(y)=\sum _{j=0}^{d_i-1} \zeta _i^{kj}$

.

ادامه در پست بعد

amir.ekhlasi · 1390/3/23

پاسخ : کران تعداد جوابهای همنهشتی

در نتیجه

$\sum _{x=0}^{p-1}\varepsilon ^{rx^{r_i}}=1+\sum _{y=1}^{p-1} {\sum _{j=0}^{d_i-1} {\zeta _i^{k(y)j}\varepsilon ^{ry}}}=1+\sum _{y=1}^{p-1} {\varepsilon ^{ry}} +\sum _{j=1}^{d_i-1} {\sum _{y=1}^{p-1} {\zeta _i^{k(y)j}\varepsilon ^{ry}}}=\sum _{j=1}^{d_i-1} {\sum _{y=1}^{p-1} {\zeta _i^{k(y)j}\varepsilon ^{ry}}}$

از طرفی میتوان ثابت کرد به ازای

$j=1,...,d_i-1$

$\left | \sum _{y=1}^{p-1} {\zeta _i^{k(y)j}\varepsilon ^{ry}} \right |= \sqrt{p}$

این مسئله را حل می کند. از آقای شریفی هم بابت ایده اولیه و جرقه مسئله ممنونم. :115:

کران تعداد جوابهای همنهشتی

amir.ekhlasi

New Member

amir.ekhlasi

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

amir.ekhlasi

New Member

amir.ekhlasi

New Member

amir.ekhlasi

New Member

amir.ekhlasi

New Member