کمترین مقدار x^2+y^2+z^2

M_Sharifi

راهبر ریاضی
ارسال ها
1,981
لایک ها
801
امتیاز
0
#1
یه سوال:
فرض کنید
اعدادی حقیقی اند که
[center:d400a4cdca]
[/center:d400a4cdca]کمترین مقدار ممکن برای
را به دست آورید.
 

mohammad_72

New Member
ارسال ها
302
لایک ها
5
امتیاز
0
#2
روش لاگرانژ = حلال معادلات سخت
در حالت در نظر مي‌گيريم : يكي x≠y=z و ديگري هر سه متفاوت ( هر سه نمي‌تونن برابر باشن )
تو اولي نتيجه مي‌گيريم y=z=0 و x = 1 حالت مينيممه.
تو دومي نتيجه مي‌گيريم xy+yz+zx=0 كه نتيجه مي‌ده x[SUP]2[/SUP]+y[SUP]2[/SUP]+z[SUP]2[/SUP]=1
پس مقدار مينيمم برابره با 1
 

M_Sharifi

راهبر ریاضی
ارسال ها
1,981
لایک ها
801
امتیاز
0
#3
mohammad_72 گفت
روش لاگرانژ = حلال معادلات سخت
در حالت در نظر مي‌گيريم : يكي x≠y=z و ديگري هر سه متفاوت ( هر سه نمي‌تونن برابر باشن )
تو اولي نتيجه مي‌گيريم y=z=0 و x = 1 حالت مينيممه.
تو دومي نتيجه مي‌گيريم xy+yz+zx=0 كه نتيجه مي‌ده x[SUP]2[/SUP]+y[SUP]2[/SUP]+z[SUP]2[/SUP]=1
پس مقدار مينيمم برابره با 1
می تونی روش دیگه ای پیشنهاد بدی؟
 

M_Sharifi

راهبر ریاضی
ارسال ها
1,981
لایک ها
801
امتیاز
0
#4
یه راه حل جالب:
فرض کنید
[center:950f58d2a3]

در این صورت به راحتی می توان نشان داد
. از طرفی
حجم متوازی السطوحی است که توسط بردارهای
تعیین می شود. فرض کنید مبدا مختصات نقطه ی
و این سه بردار،
[/center:950f58d2a3]باشند. در این صورت
. از طرفی حجم این متوازی السطوح (که برابر 1 است) حداکثر برابر است با
(یعنی
). در نتیجه:

[center:950f58d2a3]
[/center:950f58d2a3]
 
بالا