کمترین مقدار x
جواب
X≡1 mod2⇒X=2k+1
X≡1 mod3⇒2k+1≡1 mod3⇒k≡0 mod3
X≡1 mod5⇒2k+1≡1 mod5⇒k≡0 mod5
X≡1 mod4⇒2k+1≡1 mod4⇒2k≡0 mod4⇒k≡0 mod2
و X≡1 mod6 هم بدست میآید که k≡0 mod6 که خاصیتی ندارد( چون در بالا هنگ 2و3 را داریم)
پس داریم:k=2×3×5×t
X≡0 mod7⇒2k≡0 mod7⇒2×2×3×5×t+1≡0⇒60t+1≡0 mod7⇒60t+1≡4t+1≡0 mod 7
حال تنها کافی است کوچکترین جواب معادله ی همنهشتی فوق را بیابیم که کوچکترین جواب آن برابر t=5 است!!!!!!!!!!!!!!!
X≡1 mod3⇒2k+1≡1 mod3⇒k≡0 mod3
X≡1 mod5⇒2k+1≡1 mod5⇒k≡0 mod5
X≡1 mod4⇒2k+1≡1 mod4⇒2k≡0 mod4⇒k≡0 mod2
و X≡1 mod6 هم بدست میآید که k≡0 mod6 که خاصیتی ندارد( چون در بالا هنگ 2و3 را داریم)
پس داریم:k=2×3×5×t
X≡0 mod7⇒2k≡0 mod7⇒2×2×3×5×t+1≡0⇒60t+1≡0 mod7⇒60t+1≡4t+1≡0 mod 7
حال تنها کافی است کوچکترین جواب معادله ی همنهشتی فوق را بیابیم که کوچکترین جواب آن برابر t=5 است!!!!!!!!!!!!!!!
پس داریم :
X=2k+1=2×2×3×5×5+1=301به این ترتیب کوچکترین جواب 301 است!!!!!!!!!!!
خیلی خودتون رو پیچوندین...واسه اینکه خیلی ساده تر حل می شه. از باقی مانده ی چینی:
چون
پس این که x به پیمانه ی 4 یک باشد شرط کافی برای اینه که x به پیمانه ی 2 یک باشه.
پس مسئله رو می شه به این تبدیل کرد:
تمام x هایی را بیابید که در دستگاه معادلات زیر صدق کنند:
همونطور که می بینید تمام پیمانه ها نسبت به هم اولند، پس دستگاه معادلات جواب دارد. خوب طبق اثبات قضیه ی باقی مانده ی چینی یکی از جواب ها این هست:
حالا از قضیه ی باقیمانده ی چینی داریم که تمام جواب ها به پیمانه ی
با هم همنهشتند پس مینیموم مقدار برابر است با:
چون
پس مسئله رو می شه به این تبدیل کرد:
تمام x هایی را بیابید که در دستگاه معادلات زیر صدق کنند:
همونطور که می بینید تمام پیمانه ها نسبت به هم اولند، پس دستگاه معادلات جواب دارد. خوب طبق اثبات قضیه ی باقی مانده ی چینی یکی از جواب ها این هست:
حالا از قضیه ی باقیمانده ی چینی داریم که تمام جواب ها به پیمانه ی