کو چک ترین مقدار t(n

M_Sharifi · 1389/2/18

یه سوال:
کوچک ترین مقدار

$t(n)$

را (بر حسب n) بیابید که نابرابری زیر برای هر

$n$

عدد حقیقی

$x_1,x_2,\ldots,x_n$

برقرار باشد:

[center:71b7236ce2]

$x_1^2+(x_1+x_2)^2+\cdots+(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2\leq t(n)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)$

[/center:71b7236ce2]

Aref · 1389/2/25

چه جالب شرط تساوی این نابرابری، تساوی متغیر هاش نیست. در ضمن برای n=2 مقدار ضریب میشه

$\frac{3+\sqrt5}{2}$

M_Sharifi · 1389/2/30

توجه کنید که طبق نابرابری کوشی شوارتز، برای هر

$k\in\{1,2,\ldots,n\}$

،

[center:64b0865268]

$(x_1+x_2+\cdots+x_k)^2\leq(c_1+c_2+\cdots+c_k)\left(\frac{x_1^2}{c_1}+\frac{x_2^2}{c_2}+\cdots+\frac{x_k^2}{c_k}\right)$

[/center:64b0865268]
با جمع بستن این نابرابری ها نتیجه می گیریم

[center:64b0865268]

$\left x_1^2+(x_1+x_2)^2+\cdots+(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2\leq\sum_{k=1}^n\left(\frac{\sum_{j=k}^nc_1+c_2+\cdots+c_j}{c_k}\right)x_k^2\right$

[/center:64b0865268]
حالا باید

$c_i$

ها را طوری انتخابی کنیم که

[center:64b0865268]

$\left\frac{\sum_{j=n}^nc_1+c_2+\cdots+c_j}{c_1}=\frac{\sum_{j=k}^nc_1+c_2+\cdots+c_j}{c_k}=\cdots=\frac{c_1+\cdots+c_n}{c_n}=t\right$

[/center:64b0865268]
با حل این معادله به جواب

[center:64b0865268]

$c_i=\sin \frac{i\pi}{2n+1}-\sin\frac{(i-1)\pi}{2n+1},\qquad t=\frac1{4\sin^2\frac{\pi}{2(2n+1)}}$

[/center:64b0865268]
می رسیم. بنابراین

[center:64b0865268]

$x_1^2+(x_1+x_2)^2+\cdots+(x_1+\cdots+x_n)^2\leq\frac1{4\sin^2\frac{\pi}{2(2n+1)}}\left(x_1^2+\cdots+x_n^2)$

[/center:64b0865268]

Aref · 1389/2/30

توجه کنید که طبق نابرابری کوشی شوارتز، برای هر

$k\in\{1,2,\ldots,n\}$

،

[center:55b6663f36]

$(x_1+x_2+\cdots+x_k)^2\leq (c_1+c_2+\cdots+c_k)\left(\frac{x_1^2}{c_1}+\frac{x_2^2}{c_2}+\cdots+\frac{x_n^2}{c_n}\right)$

[/center:55b6663f36]
فکر کنم این اشکال داشته باشه

M_Sharifi · 1389/2/30

Aref گفت

اشکال تایپی بود. برطرف شد.

M_Sharifi · 1389/2/30

[center:153feb3744]

این نابرابری رو هم با همین روش اثبات کنید (متغیرها مثبت اند)

$a_1^2+\left(\frac{a_1+a_2}2\right)^2+\cdots+\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}n\right)^2\leq4(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)$

[/center:153feb3744]

M_Sharifi · 1389/2/31

این هم یکی دیگه (متغیرها مثبت اند)

[center:2c84ae6964]

$\frac1{a_1}+\frac2{a_1+a_2}+\cdots+\frac n{a_1+a_2+\cdots+a_n}<2\left(\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n}\right)$

[/center:2c84ae6964]

کو چک ترین مقدار t(n

M_Sharifi

راهبر ریاضی

Aref

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

Aref

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی