یه راه حل قشنگ برای یه نابرابری

M_Sharifi · 1388/12/28

یه سوال.
فرض کنید

$x,y,z$

اعدادی مثبت اند. ثابت کنید
[center:913f14d78e]

$\left(x+y+z-\frac{xy}z \right )\left(x+y+z-\frac{yz}x \right )\left(x+y+z-\frac{zx}y \right )\leq8xyz$

نکته ی اول. شاید راه حل های مختلفی برای حل این مسئله وجود داشته باشه. اما این سوال رو برای این روی سایت گذاشتم که کسی اگه راه حل قشنگی داره، ارائه کنه.
نکته ی دوم. از سواد خودتون استفاده کنید و از دیگران کمک نگیرید. توی mathlinks هم سوال رو مطرح نکنید. (البته احتمالا قبلا مطرح شده)

[/center:913f14d78e]

M_Sharifi · 1389/2/21

راه حل. توجه کنید که

[center:fd0e2ddb3c]

$S=\prod\left(x+y+z-\frac{xy}z\right)=\frac1{xyz}\prod(zx+zy-xy+z^2)\\ ~~~~~~~~~~~=\frac1{xyz}\left(\prod(xy+yz-zx)+\sum x^2(xy+yz-zx)(xz+yz-xy)+\sum x^2y^2(zx+zy-xy)+x^2y^2z^2\right)$

[/center:fd0e2ddb3c]
از طرفی اولا

$\prod (xy+yz-zx)\leq x^2y^2z^2$

(که با تغییر متغیر

$xy=a,yz=b,zx=c$

به نابرابری معروفی تبدیل میشه).
ثانیا

[center:fd0e2ddb3c]

$\left\sum x^2(xy+yz-zx)(xz+yz-xy)\leq\sum x^2\left(\frac{(xy+yz-zx)+(xz+yz-xy)}2\right)^2=3x^2y^2z^2\right$

و ثالثا طبق نابرابری شور،

$\sum x^2y^2(xz+yz-xy)=\sum (xy)^2(yz)-\sum(xy)^3\leq3x^2y^2z^2$

بنابراین

$S\leq\frac1{xyz}(3x^2y^2z^2+3x^2y^2z^2+3x^2y^2z^2-x^2y^2z^2)=8xyz$

[/center:fd0e2ddb3c]

یه راه حل قشنگ برای یه نابرابری

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی