یه سوال جبر مرحله 3 ( دستگاه )

farid_frd · 1389/1/25

این سوال مربوط میشه به یکی از امتحانات جبر دوره سال 85:

تمام

$x,y,z$

های حقیقی را بیابید که :

$\begin{cases} & \ x+y+zx=\frac{1}{2} \\ & \ y+z+xy=\frac{1}{2} \\ & \ z+x+yz=\frac{1}{2} \end{cases}$

farid_frd · 1389/1/26

آقای شریفی جواب ؟

M_Sharifi · 1389/1/26

اول ثابت کنید اگر دوتا از متغیرها با هم برابر باشند، هر سه تا با هم برابر میشند و به جواب های

[center:fadcf17ced]

$x=y=z=\frac{-2+\sqrt6}2~,~\frac{-2-\sqrt6}2$

می رسیم. در غیر این صورت از معادلات دستگاه نتیجه می گیریم

[/center:fadcf17ced][center:fadcf17ced]

$x(y-1)=y(z-1)=z(x-1)=\frac12-(x+y+z)$

از کم کردن دو تساوی بالا نتیجه می گیریم

$y(z-x)=-(x-y)$

. به همین ترتیب

$z(x-y)=-(y-z)$

و

$x(y-z)=-(z-x)$

. با ضرب این روابط نتیجه می گیریم

$xyz=-1$

. بنابراین

$z=-\frac1x$

و بنابراین

$x(y-1)=y\left(-\frac1{xy}-1\right)\Rightarrow (x+1)(xy-x+1)=0$

به همین ترتیب می توان دو رابطه ی مشابه دیگر نیز به دست آورد. از این سه رابطه نتیجه می گیریم

$xy-x+1=\cdots=0$

. بنابراین

$x(y-1)=y(z-1)=z(x-1)=-1$

درنتیجه

$\frac12-(x+y+z)=-1\Rightarrow x+y+z=\frac32$

بنابراین

$xy+yz+zx=-3+(x+y+z)=-\frac32$

بنابراین

$x,y,z$

ریشه های معادله ی

$x^3-\frac32x^2-\frac32x+1=0$

اند که ریشه های این معادله عبارتند از

$-1,2,\frac12$

. در نهایت از این حالت به جواب های

$(x,y,z)=\left(-1,2,\frac12\right),\left(2,\frac12,-1\right),\left(\frac12,-1,2\right)$

می رسیم.

[/center:fadcf17ced]