یه سوال جبر

Gaara · 1389/2/4

با فرض

$a+b+c=3$

(

$a,b,c\geq0$

) ثابت کنید:

[center:6c980e07a4]

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

[/center:6c980e07a4]

M_Sharifi · 1389/2/5

فرض می کنیم

$a\geq b\geq c$

. اگر

$a\leq \sqrt2+1$

اون وقت

$-1\leq a(2-a)\leq1$

. بنابراین

$a^2(2-a)^2\leq1\Rightarrow \frac1{a^2}\geq(2-a)^2$

. در نتیجه

[center:9e3f496b77]

$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\geq(2-a)^2+(2-b)^2+(2-c)^2=a^2+b^2+c^2$

اما اگر

$1+\sqrt2\leq a\leq3$

اون وقت،

$b+c\leq2-\sqrt2<0.6$

. در نتیجه

$c<0.3$

. بنابراین

$\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}>\frac1{c^2}>\frac1{(0.3)^2}>9=(a+b+c)^2\geq a^2+b^2+c^2$

[/center:9e3f496b77]

shoki · 1389/2/5

یه راه حل دیگه SMV هست ... حالا باید بررسی هم کرد که معادله ی خط مماس بر نمودار کار می کنه یا نه که من حال مشتق و این چیزا رو ندارم ...
اگه حرف تکراری زدم ببخشید چون راه حل آقای شریفی رو ندیدم...

Olympiad · 1389/2/5

راه حل قشنگتري وجود داره؟!!

یه سوال جبر

Gaara

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

Olympiad

New Member