یه سوال نظریه اعداد

alich100 · 1391/6/14

تمام اعداد اول p را طوری بیابید که:

$\exists k\in \mathbb{N}\Rightarrow (p-1)!+1=p^k$

zz_torna2 · 1391/6/15

پاسخ : یه سوال نظریه اعداد

ثابت میکنیم تنها جواب ها :

$(p,k)=\left \{ (2,1)(3,1)(5,2) \right \}$

داریم:

$(p-1)!=p^{k}-1=(p-1)(p^{k-1}+...+p+1)\Rightarrow (p-2)!=p^{k-1}+...+p+1$

$p\geq 7\Rightarrow \frac{p-1}{2}\leq p-2\Rightarrow p-1\left | (p-2)!\Rightarrow p^{k-1}+...+p+1\equiv 0\equiv k (mod\, \, \, p-1)\Rightarrow p-1\left | k\Rightarrow p-1\leq k$

حالا:

$n^{n}> n! +1(for\, \, \, \, n> 1)\Rightarrow (p-1)!+1=p^{k}> (p-1)^{p-1}> (p-1)!+1$

÷س برای p بزرگتر مساوی 7 جوابی نداریم.

یه سوال نظریه اعداد

alich100

New Member

zz_torna2

New Member