یک سوال زیبا از المپیاد ریاضی آمریکا (ترکیبیات)

[Goharshady]

در طول یک جلسه سخنرانی هر یک از 6 ریاضیدان 2 بار به خواب رفته اند و برای هر دو ریاضیدانی لااقل یک لحظه وجود دارد که هر دو خواب بوده اند. ثابت کنید لحظه ای وجود دارد که در آن حداقل نیمی از ریاضیدانها خواب بوده اند.

بعد هم بروید بخوابید!
شب بخیر

 

[Electron]

بر اساس برهان خلف فرض میکنیم که حکم غلطه
پس در هر لحظه حداکثر 2 نفر خواب بودن و نه سه نفر
بدین منظور:
فرض میکنیم نفر اول در دفعه ی اول خواب خود با نفر iام با هم خواب بوده اند
در دفعه ی دوم هم با نفر jام خواب بوده اند
و طبق فرض نفر iام و jام هم همزمان خواب بوده اند
پس برای اینکه هر سه در یک لحظه خواب نباشند:
نفر اول در زمان های a,b
نفر iام در زمان های b,c
و نفر jام در زمانهای a,c
خواب بوده اند
حال نفر kام میدانیم در یک لحظه همزمان با هر سه ی اینها (در لحظه های متفاوت) خواب بوده است.
برای یکی بودن با نفر اول یا در aخواب بوده و یا در b که اگر در a خواب بوده سه تایی ما کامل است(1,j,k)
و اگر در b خواب بوده سه تایی ما کامل است(1,i,k)
در همینجا ثابت میشود امکان ندارد نفر kام در یک لحظه فقط با یک نفر خواب بوده باشد اما به همین شکل میتوان همزمانی خواب نفر kام با نفر iام و jام را نیز نشان داد

درسته راه حلم؟ یا اینکه منظورش از دو بار خواب بودن اینه که یه مدت؟ فکر کنم همونه وگرنه راه حل من که خیی گلابیه

 

[Goharshady]

نمی دونم چی بگم!
ممکنه یک نفر 3 ساعت بخوابه و فقط یک ثانیه با یک نفر دیگه اشتراک داشته باشه
یعنی شما باید زمانهای خواب را به صورت بازه در نظر بگیرید.

 

[Fardad]

شبیه سوال ترکیبیات مرحله 2 سال 85 هست

 

[Electron]

شبیه میلیون ها سوال احتمالا هست
اگه ممکنه جواب رو بنویسید چون جواب سوال 5 مرحله دوم 85 گیر اوردنش آسون نیست

 

[Goharshady]

راهنمایی: از برهان خلف استفاده کنید!

 

[ali.amiri1375]

پاسخ : یک سوال زیبا از المپیاد ریاضی آمریکا (ترکیبیات)

از برهان خلف استفاده ميكنيم
پس افراد راa,b,c,d,e,fميناميم چون فردaبا پنج نفر در لحظاتي يكسان در خواب بوده ودو بار خوابيده پس در يك بار خواب خود حداقل باسه نفر خواب بوده
پس:a,b a,c a,d
حال چون فرد b با افرادc,dدريك مدت خوابيده پس فرض ميكنيم با فردcدر بار اول به خواب رفته باشه چون:a,b
a,c
b,c
هر كدام با دوتاي ديگر در يك بازه زماني اشتراك دارد پس حكم اثبات شد

 

[hoco.hc]

پاسخ : یک سوال زیبا از المپیاد ریاضی آمریکا (ترکیبیات)

اونا را روی یه محور بکشید, از همین چیزایی که بالا گفتید نتیجه خوبی می گیرید