سوال قشنگی بود.
طرف اول:
1) اگر
و
واضحه که
بر
بخش پذیر نمی شه که تناقضه.
2) اگر عدد اول
وجود داشته باشه که
آن گاه
و لذا
دقیقا یک عامل اول
داره، که باز هم تناقضه.
طرف دوم:
فرض می کنیم
عامل اولی از
است. با توجه به شرط مسئله،
. ثابت می کنیم توان
در
از توان
در
بیش تر نیست. فرض می کنیم
، که
. در این صورت
. از طرفی
[center:58398f44a5]
طرف اول:
1) اگر
2) اگر عدد اول
طرف دوم:
فرض می کنیم
[center:58398f44a5]
بنابراین اگه
مسئله حله.
اگر
، به وضوح این نابرابری برای هر عدد اول
برقراره.
اگر
کافیه حالت
رو بررسی کنیم. یعنی حالتی که
.
اگر
کافیه حالت
رو بررسی کنیم. یعنی حالتی که
یا
که بررسی این حالت ها ساده است. در ادامه فرض می کنیم
.
اگه
در این صورت
. سه تا حالت رو بررسی می کنیم:
i)
.در این حالت
و
و مسئله حله.
ii)
. در این حالت
و
و مسئله حله.
iii)
. در این حالت
، چرا که اگر
آن گاه
(که غیر ممکنه) و یا
(که متناقض با فرض مسئله است) و یا
(که به پیمانه ی 3 نادرسته). از طرفی
. پس در این حالت هم حکم مسئله برقراره.
[/center:58398f44a5]
اگر
اگر
اگر
اگه
i)
ii)
iii)