2n+1 عدد حقیقی

Goharshady · 1388/12/8

ثابت کنید اگر 2n+1 عدد حقیقی دارای این خاصیت باشند که مجموع هر n عدد کمتر از مجموع n+1 عدد دیگر باشد ، آنگاه همه ی این اعداد مثبت هستند.
منبع: رقابتهای المپیاد ریاضی - تیتو آندرسکو،رازوان جلکا

Goharshady · 1388/12/8

جواب

خودم جوابشو می ذارم:
فرض کنید

$a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{2n+1}$

اعداد مفروض باشند. اگر یکی از این اعداد مثبت نباشد یعنی

$a_{1}\leq 0$

.
می دانیم :

$a_{2}+a_{3}+...+a_{n+1}< a_{1}+a_{n+2}+a_{n+3}+...+a_{2n+1}$

چون

$a_{1}\leq 0$

پس:

$a_{2}+a_{3}+...+a_{n+1}< a_{n+2}+a_{n+3}+...+a_{2n+1}\rightarrow a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n+1}< a_{n+2}+a_{n+3}+...+a_{2n+1}$

سمت چپ این نامساوی n+1 عدد و سمت راست آن n عدد است. تناقض!

2n+1 عدد حقیقی

Goharshady

New Member

Goharshady

New Member