3*(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ac+a^2)

M_Sharifi · 1389/3/30

یه سوال:
برای اعداد حقیقی

$a,b,c$

ثابت کنید

[center:2a652647fe]

$3(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\geq a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3$

[/center:2a652647fe]

shoki · 1389/7/23

بدیهیست که می شه فرض کرد همشون مثبت اند. حالا از uvw استفاده می کنیم.

alihadadian · 1389/11/8

اين
uvw چه جوريه

mahanmath · 1389/11/8

من یه راه غیر UVW دارم ، اگه کسی‌ حل نکرد میذارمش

mohammadi9 · 1389/11/12

داریم :

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab \;$

از دو طرف یه ab کم می کنیم داریم :

$a^{2}-ab+b^{2}\geq ab$

به همین ترتیب داریم :

$b^{2}-bc+c^{2}\geq bc$

و

$c^{2}-ac+a^{2}\geq ac$

. سه عبارت را در هم ضرب می کنیم،

داریم :

$(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})\geq ab.bc.ac=a^{2}b^{2}c^{2}$

و در یک 3 هم ضرب می کنیم و داریم

$3(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})\geq 3a^{2}b^{2}c^{2}$

می دانیم :

$a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3\geq 3\sqrt[3]{a^6b^6c^6}=3a^2b^2c^2$

پس در آخر خواهیم داشت :

$3(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\geq a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \geq 3a^2b^2c^2$

mahanmath · 1389/11/12

این دیگه چه جور اثباتیه ؟!؟!

mohammadi9 · 1389/11/12

دارای تائیدیه از استاد شریفی هستش! جائیش مشکل داره ؟
اومدم برای هر کدوم از 3 پرانتز 3 نامساوی نوشتم تو هم ضرب کردم در آخر هم در یک 3 ضرب کردم پس سمت چپ نامساویمون به وجود میآد
میمونه سمت راست که با این راه ها که طی کردیم سمت راست میشه : 3a^2b^2c^2 واضح که این کوچکتر مساوی a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3
هست و جای هیچ شک و شبه ای باقی نمیذاره

mrbayat · 1389/11/13

mohammadi9 گفت

شما سخت در اشتباهید.
اگر داشته باشیم

$B\geq A , C\geq A$

نمیتوان نتیجه گرفت

$B\geq C$

یا

$C\geq B$

و شما این نتیجه را در اثباتتان گرفته اید.پس اثبات شما غلط است.OK?

M_Sharifi · 1389/11/13

mohammadi9 گفت

دارای تائیدیه از استاد شریفی هستش! جائیش مشکل داره ؟
اومدم برای هر کدوم از 3 پرانتز 3 نامساوی نوشتم تو هم ضرب کردم در آخر هم در یک 3 ضرب کردم پس سمت چپ نامساویمون به وجود میآد
میمونه سمت راست که با این راه ها که طی کردیم سمت راست میشه : 3a^2b^2c^2 واضح که این کوچکتر مساوی a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3
هست و جای هیچ شک و شبه ای باقی نمیذاره

من راه حلتون رو در مورد سوال ftopicp-58818.html#58818 تایید کردم، نه این سوال.

mohammadi9 · 1389/11/13

اما این اثبات بگید کجاش ایراد داره من قبول می کنم ؟!

happymoj · 1389/11/21

استاد من به شما اینو عرض کردم

3*(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ac+a^2)

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

alihadadian

Guest

mahanmath

New Member

mohammadi9

New Member

mahanmath

New Member

mohammadi9

New Member

mrbayat

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mohammadi9

New Member

happymoj

Active Member