(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ac+a^2)

M_Sharifi · 1389/3/15

یه سوال:
برای اعداد حقیقی و نامنفی

$a,b,c$

با حاصل جمع 3 ثابت کنید

[center:ccc9dbd996]

$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\leq12$

[/center:ccc9dbd996]

mreza1370 · 1389/3/30

فرض کنید که

باشد. با قرار دادن

به جای

و

به جای

در نامساوی نامساوی بزرگتر می شود. یعنی نامساوی های زیر برقرار است
[center:214c887f33]

و

[/center:214c887f33]

پس نامساوی زیر را باید برای

ثابت شود
[center:214c887f33]

که با جایگذاری

بر حسب

به نامساوی زیر تبدیل می شود.

[/center:214c887f33][center:214c887f33]

پس کافیست ماکزیمم مقدار تابع

را در بازه ی

بیابیم که با مشتق گیری از تابع داریم

بنابراین ماکزیمم تابع برابر

می باشد.

[/center:214c887f33]

mohammad_72 · 1389/3/30

آخرشو بدون مشتق هم میشه حل کرد. کافیه بنویسیم :

$a^2b^2(a^2-ab+b^2) = a^2b^2((a+b)^2 - 3ab) = 9(ab)^2 - 3(ab)^3 \le 12\\ \Leftrightarrow 0 \le (ab)^3-3(ab)^2+4 = (ab-2)^2(ab+1)$

mohammad_72 · 1389/3/30

mreza1370 گفت

نامساوی دومی معادله با

$ab \le 3c$

که لزوما برقرار نیست.
اگه بخواهیم اثبات رو دقیقتر بگیم اینجوری میشه :
اگه هیچکدوم از a و b و c صفر نباشن اونوقت از بین نامساوی‌های

$ab \le 3c, bc \le 3a, ca \le 3b$

حداقل یکی برقراره وگرنه
خواهیم داشت

$ab > 3c, bc > 3a, ca > 3b \Rightarrow abc > 27$

که با شرط a+b+c = 3 در تناقضه. پس دو تا عدد از بین اینا پیدا میشه که
اگه یکیشونو صفر کنیم و اونیکی رو حاصلجمعشون، مقدار عبارت کمتر نشه.
بقیه‌اش هم که مثل قبل.

M_Sharifi · 1389/3/31

قسمت اول راه حل رو میشه این طوری گفت که با فرض

$a\geq b\geq c$

، داریم

$b^2-bc+c^2\leq b^2$

و

$c^2-ac+a^2\leq a^2$

.

(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ac+a^2)

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mreza1370

New Member

mohammad_72

New Member

mohammad_72

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی