a/{a^2+a+1}+...<=9/13

M_Sharifi · 1388/12/15

یه سوال:
فرض کنید

$a,b,c\geq0$

و

$a+b+c=1$

. ثابت کنید:

[center:e8a790bcfc]

$\frac13\leq \frac a{a^2+a+1}+\frac b{b^2+b+1}+\frac c{c^2+c+1}\leq\frac9{13}$

[/center:e8a790bcfc]

301EC · 1388/12/15

RHS ba Chebyshev
LHS:
be rahaT mitavan ba kharkari sabet kard ke:
f(a,b,c) >= f(a,b+c,0) --> f(a,b,c) >= f(1,0,0) =1/3

M_Sharifi · 1388/12/16

این هم یه راه حل:
فرض می کنیم

$a=\frac{x}3,\quad b=\frac y3,\quad c=\frac z3$

. در این صورت

$x+y+z=3$

و نابرابری به صورت
[center:cbe1f62816]

$\frac19\leq\sum\frac{x}{x^2+3x+9}\leq\frac3{13}$

در می آید. برای اثبات نابرابری سمت راست، طبق نابرابری میانگین حسابی-هندسی داریم:

$x^2+3x+9=x^2+x+x+x+1+1+\cdots+1\geq13\root{13}\of{x^5}$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$\root{13}\of{x^8}+\root{13}\of{y^8}+\root{13}\of{z^8}\leq3$

که این نابرابری نیز از جمع نابرابری های به فرم

$\underbrace{x+x+\cdots+x}_8+1+1+1+1+1\geq13\root{13}\of{x^8}$

به دست می آید.
برای اثبات نابرابری سمت چپ، طبق نابرابری کوشی شوارتز دازیم:

$\sum\frac x{x^2+3x+9}\cdot\sum x(x^2+3x+9)\geq(\sum x)^2=9$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$\sum x(x^2+3x+9)\leq81$

[/center:cbe1f62816]

و یا به صورت معادل،
[center:cbe1f62816]

$\sum (x+1)^3\leq66$

برای اثبات این نابرابری نیز کافی است از نابرابری

$(a+1)^3+(b+1)^3\leq1+(a+b+1)^3$

استفاده کنیم.

[/center:cbe1f62816]