a/{bc+1}+b/{ca+1}+c/{ab+1}+abc<=5/2

M_Sharifi · 1388/12/20

یه سوال:
فرض کنید

$a,b,c\in[0,1]$

. ثابت کنید

[center:c40e71aebd]

$\frac a{bc+1}+\frac b{ca+1}+\frac c{ab+1}+abc\leq\frac52$

[/center:c40e71aebd]

shoki · 1388/12/21

دو بار مشتق و تحدب و چک کردن مرزهای بازه ....

seifi_seifi · 1388/12/21

shoki گفت

shoki یه مقدار بیشتر توضیح میدی؟ میدوننم سخته ولی اگه توضیح بدی ممنون میشم.

shoki · 1388/12/21

به صفحه ی 90 جبر صفا مسئله ی 5 و حلش که آخر کتابه نگاه کنید ... اگه باز هم متوجه نشدید حتما بگید ...

البته یه اشکال تایپی هم داره : در خط 7 صفحه ی 308 جهت نامساوی به سمت 1 هست...

M_Sharifi · 1388/12/22

یه راه حل دیگه.

فرض می کنیم

$a\geq b\geq c$

. در این صورت
[center:a860ced534]

$\frac a{bc+1}+\frac b{ca+1}+\frac c{ab+1}+abc\leq\frac{a+b+c}{bc+1}+abc\leq\frac{1+b+c}{1+bc}+bc$

از طرفی

$b+c\leq bc+1$

، چراکه

$(1-b)(1-c)\geq0$

. بنابراین

$\frac{1+b+c}{1+bc}+bc\leq 1+\frac1{bc+1}+bc$

بنابراین باید ثابت کنیم

$bc+\frac1{bc+1}\leq\frac32$

. با ساده کردن این نابرابری، به نابرابری

$(1-bc)(1+2bc)\geq0$

می رسیم که به وضوح درست است.

[/center:a860ced534]