a_ia_j/i+j

M_Sharifi · 1389/2/29

یه سوال:
برای هر

$n$

عدد حقیقی

$a_1,a_2,\ldots,a_n$

ثابت کنید

[center:1a0367ea97]

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{a_ia_j}{i+j}\geq0$

[/center:1a0367ea97]

mohammad_72 · 1389/3/7

میشه این حکم قویتر رو هم ثابت کرد :

$\sum_{i,j=1}^n \frac{a_ia_j}{i+j} \geq 2\left ( \sum \frac{a_i}{i+1} \right )^2$

M_Sharifi · 1389/3/8

کاملا درسته. برای این تیپ مسائل یه ایده ی جالب وجود داره. اگه می تونی راه حلت رو بنویس که دیگران هم استفاده کنند.

mohammad_72 · 1389/3/8

البته !

[center:dbd7ca65e6]

$\sum_{i,j=1}^n \frac{a_ia_j}{i+j} = \sum \int_0^1 a_ia_jt^{i+j-1}dt = \int_0^1 \sum t(a_i t^{i-1})^2dt = 2 \left ( \int_0^1 tdt \right )\left ( \int_0^1 \sum t(a_i t^{i-1})^2dt \right ) \geq 2\left ( \int_0^1 \sum a_it^i dt \right )^2 = 2\left ( \sum \frac{a_i}{i+1} \right )^2$

[/center:dbd7ca65e6](نامساوی‌ای که بالا استفاده کردم همون نامساوی کوشی برای انتگرال‌هاست)

M_Sharifi · 1389/3/8

این دو تا سوال رو هم می تونید با همین ایده حل کنید:

1) برای هر دو عدد طبیعی

$m,n$

و اعداد مثبت

$x,y$

نشان دهید

[center:4951d9878b]

$\left(n-1)(m-1)(x^{m+n}+y^{m+n})+(m+n-1)(x^my^n+x^ny^m)\geq mn(x^{m+n-1}y+xy^{m+n-1})\right$

2) برای اعداد مثبت

$a,b,c$

ثابت کنید

$\sum_\textrm{cyc}\frac1{3a}+\frac3{a+b+c}\geq\sum_{\textrm{sym}}\frac1{2a+b}$

[/center:4951d9878b]

mahanmath · 1389/3/8

کران بالا :

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{a_i a_j}{i+j}\leq \pi .\sum_{i=1}^{n}{a_i}^2$

a_ia_j/i+j

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mohammad_72

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mohammad_72

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mahanmath

New Member