f(x^3)-f(y^3)=(x^2+xy+y^2)(f(x)-f(y

M_Sharifi · 1389/1/21

یه سوال.
همه ی توابع

$f:\Bbb R\to\Bbb R$

را بیایبد که برای هر دو عدد حقیقی

$x,y\in\Bbb R$

،

[center:944730a9f6]

$f(x^3)-f(y^3)=(x^2+xy+y^2)\big(f(x)-f(y)\big)$

[/center:944730a9f6]

seifi_seifi · 1389/1/22

راه حل خودم یه تیکه اش اشتباه شد و کلا ریخت بهم و به همین دلیل من راه حل کامل shoki رو مینویسم.

فرض کنید :

$\100dpi g(x)=f(x)-f(0)$

حال معادله به این تبدیل میشود :

$\100dpi g(x^3)-g(y^3)=(x^2+xy+y^2)(g(x)-g(y))$

و

$\100dpi g(0)=0$

. حال قرار میدهیم : y=0 بدست میاید :

$\100dpi g(x^3)=x^2g(x)$

پس

$\100dpi x^2g(x)- y^2g(y)=(x^2+xy+y^2)(g(x)-g(y))$

بدست میاید :

$\100dpi (x^2+xy)g(y)=(y^2+xy)g(x)$

حال اگر x+y

برابر صفر نباشد به دست میاید

$\100dpi xg(y)=yg(x)$

و قرار میدهیم y=1 بدست میاید :

$\100dpi g(x)=ax$

اگر x مخالف -1 باشد و حال در

رابطه ی قبل قرار میدهیم x=2 و y=-1 و بدست میاید :

$\100dpi g(-1)=-a$

پس در کل داریم :

$\100dpi g(x)=ax\Rightarrow f(x)=ax+b$

shoki · 1389/1/22

می تونستید تعریف : (g(x) =f(x) - f(0 رو در نظر بگیرید و بدین وسیله مشکلی که ( f( 0 ایجاد می کنه رو به راحتی برطرف کنید .
بعدش هم با جایگذاری y=0 یه رابطه برای( g(x^3 به دست بیارید که با جایگذاری اون مقدار به جای ( g(x^3 و ( g(y^3 بدست بیارید

yg(x)=xg(y
حالا کافیه به جای y بذارید 1 . باقیش حله ...

zek · 1389/1/23

از راه حل خیلی کاملتون ممنون
من هم همین جواب رو آوردم ولی در این حد نپیچوندم (البته شما همزیاد نپیچوندینا ). با در نظر گرفتن درجه X وY در هر دو طرف ، بدستآوردم که باید این درجه 1 باشه .... بقیه اش هم یه کم پیچوندم !! اومد........

M_Sharifi · 1389/1/23

zek گفت

منظور شما از درجه چیه؟ سوال که نگفته این تابع چندجمله ایه!

zek · 1389/1/24

شما درست می فرمایین ، ولی جواب اومد دیگه !!!

f(x^3)-f(y^3)=(x^2+xy+y^2)(f(x)-f(y

M_Sharifi

راهبر ریاضی

seifi_seifi

New Member

shoki

New Member

zek

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

zek

New Member