f(x^3+y^3)=(x+y)(f(x)^2-f(x)f(y)+f(y)^2

M_Sharifi · 1389/1/23

یه سوال:
تابع

$f:\Bbb R\to\Bbb R$

برای هر در معادله ی
[center:4f05640efa]

$f(x^3+y^3)=(x+y)\left(f(x)^2-f(x)f(y)+f(y)^2 \right )$

[/center:4f05640efa]
صدق می کند. ثابت کنید برای هر عدد حقیقی

$x$

،

$f(1996x)=1996f(x)$

.

seifi_seifi · 1389/1/28

سوال قشنگی بود.

داریم :

$\100dpi x=y=0\Rightarrow f(0)=0$

و

$\100dpi y=0 \Rightarrow f(x^3)=xf(x)^2$

و

$\100dpi x=y\Rightarrow f(2x^3)=2xf(x)^2$

پس

$\100dpi f(2x^3)=2f(x^3)\Rightarrow f(2x)=2f(x)$

پس :

$\100dpi f(2^nx)=2^nf(x)$

حال فرض کنید داشته باشیم :

$\100dpi f(mx)=mf(x) , f(nx)=xf(x)$

حال قرار میدهیم :

$\100dpi x=mx , y=nx \Rightarrow f((m^3+n^3)x^3)=(m+n)x \cdot (m^2-mn+n^2)f(x)^2\Rightarrow f((m^3+n^3)x^3)=(m^3+n^3)\cdot x\cdot f(x)^2 = (m^3+n^3).f(x^3)$

حال ثابت میکنیم :

$\100dpi f(\sqrt[3]{2^n}.x)=\sqrt[3]{2^n}.f(x)$

داریم :

$\100dpi f(x^3)=xf(x)^2\Rightarrow f(2^nx^3)=\sqrt[3]{2^n}. x .f(\sqrt[3]{2^n}.x)^2 =2^nf(x^3)=2^n . x. f(x)^2\Rightarrow \sqrt[3]{2^n}. x .f(\sqrt[3]{2^n}.x)^2=2^nf(x^3)=2^n . x. f(x)^2 \Rightarrow (\sqrt[3]{2^n})^2.f(x)^2=f(\sqrt[3]{2^n}.x)^2\Rightarrow f(\sqrt[3]{2^n}.x)=\sqrt[3]{2^n}.f(x)$

حال اگر قرار دهیم :

$\100dpi m=\sqrt[3]{2^k} , n=\sqrt[3]{2^j}$

بدست میاید :

$\100dpi f((2^k+2^j)x)=(2^k+2^j)f(x)$

و به ترتیب بالا اثبات میشود اگر

$\100dpi f(mx)=mf(x)$

آنگاه :

$\100dpi f(\sqrt[3]{m}x)=\sqrt[3]{m}f(x)$

پس :

$\100dpi f(\sqrt[3]{(2^k+2^j)}x)=\sqrt[3]{(2^k+2^j)}f(x)$

و چون :

$\100dpi f(\sqrt[3]{2^t}x)=\sqrt[3]{2^t}f(x)$

پس :

$\100dpi f((2^k+2^j+2^t)x)=(2^k+2^j+2^t)f(x)$

و به همین ترتیب ثابت میشود :

$\100dpi f((2^{a_1}+2^{a_2}+...+2^{a_k})x)=(2^{a_1}+2^{a_2}+...+2^{a_k})f(x)$

و حال فقط لازم است

a_i ها را طوری انتخاب کنیم که جمع توان دو ها برابر 1996 شود.

درسته؟

vakili · 1389/1/29

seifi_seifi che joori natige gerfti f(2x)=f(x).2

f(x^3+y^3)=(x+y)(f(x)^2-f(x)f(y)+f(y)^2

M_Sharifi

راهبر ریاضی

seifi_seifi

New Member

vakili

New Member