f(x)g(x)>=x+1

M_Sharifi · 1389/4/21

یه سوال:
همه ی توابع

$f,g:\Bbb R\to\Bbb R$

را بیایبد که

1)

$\forall x,y\in\Bbb R,\qquad 2f(x)-g(x)=f(y)-y$

و
2)

$\forall x\in\Bbb R,\qquad f(x)g(x)\geq x+1$

navidjalalmanesh · 1389/4/23

فرض کنید

$f(0) = c$

. حال در فرض 1 قرار دهید

$x = y \rightarrow f(x) = g(x) - x$

.

درفرض 1 قرار دهید y = 0 :

$y = 0 \rightarrow 2(g(x) - x)) - g(x) = f(0) \rightarrow g(x) = 2x + c$

.

پس

$f(x) = g(x) - x = x + c$

حال در رابطه 2 مقادیر f و g را قرار می دهیم

$f(x)g(x) \geq x + 1 \rightarrow (x+c)(2x+c) \geq x + 1 \rightarrow ... \rightarrow (2c+3x)^2 \geq (x+2)^2$

پس داریم :

$| 2c+3x | \geq | x+2 |$

. چون این رابطه برای هر x درست است داریم :

$x = \frac{-2c}{3} \rightarrow 0 \geq |\frac{-2c}{3} + 2| \rightarrow c = 3$

پس

$f(x) = x + 3 , g(x) = 2x + 3$

armath · 1389/4/23

$2f(0)-g(0)=f(0)\Rightarrow f(0)=g(0)$

$f(0)=\alpha \Rightarrow 2f(0)-g(0)=\alpha =f(y)-y\Rightarrow f(x)=\alpha + y \Rightarrow 2(\alpha +x)-g(x)= \alpha \Rightarrow g(x)=\alpha + 2x$

$\forall x\in \mathbb R ;(\alpha +2x)(\alpha + x)\ge x+1 \Leftrightarrow 2x^2+(3\alpha -1)x +(\alpha^2 -1)\ge 0 \Rightarrow \Delta\le0$

$\Rightarrow (\alpha-3)^2\le 0 \Rightarrow \alpha =3$