f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1

mrbayat · 1389/8/24

همه ی توابع

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

را بیابید که:
[center:c08d68ecef]

$\forall x,y\in \mathbb{R}:\; f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1$

[/center:c08d68ecef]

mimilad · 1389/8/24

اين سوال چه قدر اشناست اينو از كجا اوردي؟

AidinT · 1389/8/24

$\Rightarrow f(0+0) + f(0)f(0) = f(0) + 1 \Rightarrow f^2(0) = 1\Rightarrow f(0) = \pm 1$

$if\; f(0) = 1 : f(x+0)+f(x)f(0) = f(0) + 1\Rightarrow f(x) = 1$

بدیهیه که تابع نمی تونه ثابت باشه پس این جواب غیرقابل قبوله.

$if\; f(0) = -1 : f(-1+1)+f(-1)f(1) = f(-1) -1\Rightarrow f(1) = 1$

$f(x+1)+f(1)f(x) = f(x) + 2x + 1 \Rightarrow f(x+1) = 2x+1 \Rightarrow f(x) = 2x - 1$

که این جواب قابل قبوله!