m بخشپذیر بر p

rezashiri · 1389/3/7

فرض کنید p>2 عددی اول است و داریم:

$\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}$

ثابت کنید m بر p بخشپذیر است.

mrbayat · 1389/3/8

عبارت داده شده رو اینجوری می نویسیم:

$\frac{m}{n}=(1+\frac{1}{p-1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{p-2})+ ... +(\frac{1}{\frac{p-1}{2}}+\frac{1}{\frac{p+1}{2}})$

$= (\frac{p}{1(p-1)})+(\frac{p}{2(p-2)})+ ... +(\frac{p}{\frac{p-1}{2}.\frac{p+1}{2}})$

$=p( (\frac{1}{1(p-1)})+(\frac{1}{2(p-2)})+ ... +(\frac{1}{\frac{p-1}{2}.\frac{p+1}{2}}))$

حالا توجه کنید که مخرج مشترک عبارات داخل پرانتز

$(p-1)!$

است و چون داریم

$(p,(p-1)!)=1$

پس یک عامل

$p$

در صورت عبارت وجود دارد پس باید داشته باشیم

$p\mid m$