n نقطه در صفحه داده شده است به طوري كه هيچ سه تايي روي يك خط راست نيستند و طول هيچ دوتا از پاره خط هاي واصل اين نقاط برابر نيست.هريك از اين نقاط را به دو تا از نزديكترين نقاط وصل مي كنيم.ثابت كنيد به هر نقطه حداكثر 11 پاره خط وصل مي شود.
برهان خلف میزنیم اگه حداقل 12 تا به یکی وصل باشند 3 تا نقطه وجود دارند که بزرگترین زاویه ای که با هم میسازن حداکثر 60 باشه بنا بر اصل لانه کبوتری (کافیه پاره خط ها رو یکی در میون در نظر بگیریم) اون وقت به دست میاد هر کدوم از این سه تا نقطه باید نزدیکترین یکی دیگه از اونا باشن پس مثلث متساوی الاضلاع است که با فرض مسئله تناقض داره.:109:
اون تیکه اخرفقط یکم فرق داتش . (البته راه حلم اضافیه ولی نوشتنش ضرری نداره .)
واسه اثبات میتونیم به استقرا هم عمل کنیم یعنی حکم به ازای 1 و 2 که برقراره و فرض کنیم حکم به ازای 1 تا n برقرار است و حکم را به ازای n+1 اثبات کنیم . به ازای n+1 هر نقطه را به 2 تا از نزدیکترین هایش وصل میکنیم و اگر نقطه ای مثلا a به بیش از 11 نقطه متصل شده باشد انگاه یکی انگاه یکی از ان نقاط را که a به ان ها متصل نمیباشد را انتخاب میکنیم و ان را حدف میکنیم و در این حالت n+1 نقطه داریم که هر کدام را به نزدیکترین ان ها وصل میکنیم اما باز نقطه ی a به بیش از 11 نقطه متصل خواهد بود که این تناقض است پس تنها حالت این است که چنین نقطه ای یعنی نقطه ای که a به ان در حالت n+1 نقطه متصل نباشد وجود ندارد حال اگر تعداد نقاطی کی a به ان ها متصل نمیباشد بیش از 12 باشد باز هم از استقرا کمک میگیریمنی است و به تناقض میرسیم پس تنها حالت زمانی است که تعداد نقاط 13 تا باشد و a به همه ی 12 نقطه ی دیگر متصل باشد حالا ققط کافی بود صورت سوال اثبات این رو میخواست که من واسه اثباتش تقریبا مثل شما رفتم (با زاویه )
