namosaV'e ke gave nar mikhahad o Marde kohan!l

301EC · 1389/1/18

salam

M_Sharifi · 1389/1/21

سوال خیلی جالبی بود.
طبق نابرابری کوشی شوارتز،

[center:fc29e3e4a5]

$\left(\sum_{\textbf{cyc}}\sqrt{\frac{a^2(b^2+c^2)}{a^2+bc}}\right)^2\leq\sum_{\textbf{cyc}}\frac a{a^2+bc}\cdot \sum_{\textbf{cyc}} a(b^2+c^2)$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac a{a^2+bc}\cdot \sum_{\textbf{cyc}} a(b^2+c^2)\leq(a+b+c)^2$

داریم

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac a{a^2+bc}\cdot \sum_{\textbf{cyc}} a(b^2+c^2)=\sum_{\textbf{cyc}}\frac a{a^2+bc}\cdot \left(a(b^2+c^2)+(a^2+bc)(b+c)\right)\\ ~~~~~~~~~~=\sum_{\textbf{cyc}}a(b+c)+\sum_{\textbf{cyc}}\frac{a^2(b^2+c^2)}{a^2+bc} =2\sum_{\textbf{cyc}} ab+\sum_{\textbf{cyc}}\frac {a^2(b^2+c^2)}{a^2+bc}$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac {a^2(b^2+c^2)}{a^2+bc}\leq a^2+b^2+c^2$

با بسط دادن این نابرابری خواهیم داشت

$a^2+b^2+c^2-\sum_{\textbf{cyc}}\frac {a^2(b^2+c^2)}{a^2+bc}=\frac {abc\big(a^5+b^5+c^5-abc(ab+bc+ca)\big)}{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}$

[/center:fc29e3e4a5]

که این عبارت به وضوح نامنفی است و به این ترتیب نتیجه ی مورد نظر به دست می آید.

301EC · 1389/1/21

kamelan doroste

301EC · 1389/1/21

khatte akher moshkel nadare?/l

M_Sharifi · 1389/1/23

301EC گفت

نه. می تونی بررسی کنی.

namosaV'e ke gave nar mikhahad o Marde kohan!l

301EC

New Member

پیوست ها

M_Sharifi

راهبر ریاضی

301EC

New Member

301EC

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی